Je opět Den pí (14. března – což je stejně jako první číslice pí: 3 a 14). Než se pustíme do letošní oslavy čísla pí, dovolte mi, abych shrnul několik nejdůležitějších věcí o tomto úžasném čísle.

• Mimo USA by měl být Den pí pravděpodobně 22. července (22/7) – tento zlomek je překvapivě dobrým odhadem čísla pí.
• Hodnotu pí můžete zjistit pomocí hmoty a pružiny.
• Hodnota pí souvisí s místním gravitačním polem.
• Hodnotu pí můžete zjistit pomocí náhodných čísel (tohle je moje oblíbené).
• A konečně-existuje vztah mezi pí, e, 1, 0 a i (imaginární číslo).

Ale dnes budu počítat pí pomocí numerického integrálu. Co to vůbec znamená? Začnu příkladem – jak zjistíte plochu půlkruhu?

Plocha kruhu je pí krát poloměr na druhou. Jedná se o polovinu kružnice s poloměrem 1 (bez jednotek) tak, že by její plocha byla pí/2. Pokud plochu zjistím nějakou jinou metodou, mohu tuto plochu prostě vynásobit 2 a dostanu pí. To je plán.

Ale jak zjistíte plochu nějakého útvaru – nebo vlastně jakéhokoli útvaru? Tady se hodí počítání. Plochu půlkruhu zjistím tak, že sečtu plochy několika obdélníků. Ukázalo se, že zjistit plochu obdélníku je docela snadné. Nakreslím jen několik obdélníků v tom půlkruhu, abyste viděli, co mám na mysli.

Plochu každého z těchto hubených obdélníků lze zjistit pomocí vzorce „základna krát výška“. Obdélník má výšku „y“ a základnu „dx“, kde dx je prostě nějaká libovolná délka podél osy x. Obdélník má výšku „y“ a základnu „dx“. Skutečnou hodnotu výšky mohu zjistit, protože vrchol obdélníku zasahuje do kružnice, kde lze tuto výšku zjistit z rovnice kružnice.

Nyní stačí sečíst všechny tyto obdélníky – bum, to je plocha poloviny kružnice. Mohu to zapsat jako součet ploch takto:

Ale počkat! Není to špatná aproximace skutečné plochy kruhu (půlkruhu)? Ano, to je skutečně pravda – ale ve skutečnosti to závisí na šířce těchto malých obdélníků plochy. Ve skutečnosti, pokud vezmu hranici, jakmile šířka (dx) klesne k nule, pak dostanu přesnou plochu. To je vlastně definice integrálu v matematice – ale to si nechám na jindy. Místo toho provedeme numerický výpočet prostým sečtením ploch několika obdélníků. Můžete to samozřejmě udělat ručně – ale to by mohlo být nudné. Místo toho to uděláme pomocí počítačového programu. Jistě.

Tady je numerický výpočet v Pythonu. Můžete pokračovat a spustit kód stisknutím tlačítka „play“, ale níže uvedu několik komentářů ke kódu.

Kód můžete změnit, pokud vám to udělá radost – zde je několik věcí, které je třeba zvážit.

• Toto je numerický výpočet. To znamená, že program pracuje pouze s čísly. Technicky vzato by plocha měla mít jednotky m2 nebo něco podobného, ale ne zde. Pouze čísla.
• Pro smyčky v Pythonu platí, že součástí smyčky je vše, co je uvozeno tabulátorem. Jakmile to odřádkuješ, už to není ve smyčce.
• Řádek 18 by měl vypadat divně, protože to tak je. Pokud to považujete za algebraickou rovnici, mělo by se písmeno A zrušit, protože je na obou stranách rovnice – ale tohle není rovnice. V pythonu (a ve většině ostatních jazyků) znamená „=“ „rovnej se“. Tento řádek vezme starou hodnotu A, přičte k ní nové věci a pak z ní udělá novou hodnotu A.

Tento počáteční výpočet má dx 0,1. To znamená, že dx má hodnotu 0,1, což znamená, že dx má hodnotu 0,1. To znamená, že bude stačit sečíst 20 obdélníků a získat plochu půlkruhu. Díky tomu dostanu přibližnou hodnotu pí 3,10452 – což zjevně není přesné pí. Samozřejmě mohu provést lepší odhad tím, že vytvořím obdélníky o menší šířce. Měli byste to zkusit změnou výše uvedeného kódu (nápověda: změňte hodnotu pro dx). Protože to však nemohu nechat být, zde je graf hodnoty pí pro různé velikosti kroků.

Možná to není nejlepší graf – ale zatím to stačí. Pokud se chcete podívat na kód tohoto grafu, zde jej najdete. Nakonec se však hodnota skutečně blíží očekávané hodnotě pí. Touto metodou sice nezískáte milion číslic pí, ale možná se alespoň dozvíte něco o integraci.