Definice:

Trojúhelník se skládá ze tří úseček a tří úhlů. Na výše uvedeném obrázku jsou AB, BC, CA tři úsečky a ∠A, ∠B, ∠C jsou tři úhly.

Existují tři typy trojúhelníků na základě stran a tři na základě úhlů.

Typy trojúhelníků na základě stran

Rovnostranný trojúhelník: Trojúhelník, který má všechny tři strany stejně dlouhé, je rovnostranný trojúhelník.

Protože jsou všechny strany stejné, jsou stejné i všechny úhly.

Rovnoběžný trojúhelník: Trojúhelník, který má dvě stejně dlouhé strany, je rovnoramenný trojúhelník.

Dva úhly protilehlé ke stejným stranám jsou stejné.

Skálový trojúhelník: Trojúhelník, který má tři různě dlouhé strany, se nazývá skalenový trojúhelník.

Typy trojúhelníků na základě úhlů

Trojúhelník s řezem: Trojúhelník, jehož všechny úhly jsou ostré, se nazývá ostroúhlý trojúhelník nebo ostrý trojúhelník.

Obdélníkový trojúhelník:

Pravoúhlý trojúhelník:

Na obrázku výše se strana protilehlá pravému úhlu BC nazývá přepona.

Pro pravoúhlý trojúhelník ABC,

BC2 = AB2 + AC2

Tato věta se nazývá Pythagorova věta.

Ve výše uvedeném trojúhelníku platí, že 52 = 42 + 32. Pouze trojúhelník, který splňuje tuto podmínku, je pravoúhlý.

Pythagorova věta tedy pomáhá zjistit, zda je trojúhelník pravoúhlý.

Typy trojúhelníků

Existují různé typy pravoúhlých trojúhelníků. Zatím se zaměříme pouze na speciální dvojici pravoúhlých trojúhelníků.

1. 45-45-90 trojúhelník
2. 30-60-90 trojúhelník

45-45-90 trojúhelník:

Trojúhelník 45-45-90, jak už název napovídá, je pravoúhlý trojúhelník, ve kterém jsou zbylé dva úhly po 45°.

Je to rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník.

V ∆ DEF, DE = DF a ∠D = 90°.

Strany v trojúhelníku 45-45-90 jsou v poměru 1 : 1 : √2.
Trojúhelník 30-60-90:

Trojúhelník 30-60-90, jak název napovídá, je pravoúhlý trojúhelník, v němž další dva úhly jsou 30° a 60°.

Jedná se o skalenový pravoúhlý trojúhelník, protože žádná ze stran ani úhlů není stejná.

Strany v trojúhelníku 30-60-90 jsou v poměru 1 : √3 : 2

Stejně jako každý jiný pravoúhlý trojúhelník splňují tyto dva trojúhelníky Pythagorovu větu.

Základní vlastnosti trojúhelníků

• Součet úhlů v trojúhelníku je 180°. Tomu se říká vlastnost součtu úhlů.
• Součet délek libovolných dvou stran trojúhelníku je větší než délka třetí strany. Podobně rozdíl délek libovolných dvou stran trojúhelníku je menší než délka třetí strany.
• Strana ležící naproti největšímu úhlu je nejdelší stranou trojúhelníku a strana ležící naproti nejmenšímu úhlu je nejkratší stranou trojúhelníku.


Na výše uvedeném obrázku je ∠B největším úhlem a strana k němu opačná (přepona), je největší stranou trojúhelníku.



Na výše uvedeném obrázku je ∠A největší úhel a strana jemu opačná, BC, je největší stranou trojúhelníku.

• Vnější úhel trojúhelníku je roven součtu jeho vnitřních protilehlých úhlů. Tomu se říká vlastnost vnějšího úhlu trojúhelníku.


Zde ∠ACD je vnější úhel k ∆ABC.

Podle vlastnosti vnějšího úhlu platí, že ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Podobnost a shodnost v trojúhelnících

Útvary stejné velikosti a tvaru jsou shodné útvary. Jsou-li dva útvary shodné, zůstanou shodné, i když je posuneme nebo otočíme. Útvary zůstanou kongruentní i v případě, že je odrazíme tak, že vytvoříme jejich zrcadlové obrazy. Dva geometrické útvary jsou kongruentní, jestliže se navzájem přesně kryjí.

Útvary se stejným tvarem, ale s úměrnými velikostmi jsou podobné útvary. Zůstanou podobné, i když je přemístíme nebo otočíme.

Podobnost trojúhelníků

Říká se, že dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže odpovídající úhly dvou trojúhelníků jsou shodné a délky odpovídajících stran jsou úměrné.

Zapíše se to jako ∆ ABC ∼ ∆ XYZ a řekne se, že ∆ ABC ‚je podobné‘ ∆ XYZ.

Zde platí, že ∠A = ∠X, ∠B =∠Y a ∠C = ∠Z A

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

Nutné a postačující podmínky pro podobnost dvou trojúhelníků jsou následující:
(1) Kritérium stranové podobnosti (SSS):

Jsou-li tři strany trojúhelníku úměrné odpovídajícím třem stranám jiného trojúhelníku, pak se říká, že trojúhelníky jsou podobné.

Zde platí ∆ PQR ∼ ∆ DEF jako

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Kritérium podobnosti strana-úhelník (SAS):

Jsou-li příslušné dvě strany dvou trojúhelníků úměrné a jeden zahrnutý úhel je roven příslušnému zahrnutému úhlu jiného trojúhelníku, pak jsou trojúhelníky podobné.

Zde platí ∆ LMN ∼ ∆ QRS, v němž

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) Kritérium podobnosti úhel-úhel-úhel (AAA):

Jsou-li tři odpovídající úhly dvou trojúhelníků stejné, pak jsou oba trojúhelníky podobné.

Zde ∆ TUV ∼ ∆ PQR jako

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q a ∠V = ∠R

Shodnost trojúhelníků

Dva trojúhelníky se považují za shodné, jestliže se všechny strany jednoho trojúhelníku rovnají příslušným stranám druhého trojúhelníku a příslušné úhly jsou stejné.

Zapíše se to jako ∆ ABC ≅ ∆ XYZ a řekne se, že ∆ ABC „je kongruentní s“ ∆ XYZ.

Nutné a postačující podmínky pro to, aby dva trojúhelníky byly shodné, jsou následující:
(1) Kritérium shodnosti strana-strana-strana (SSS):

Jsou-li tři strany trojúhelníku shodné s odpovídajícími třemi stranami jiného trojúhelníku, pak se říká, že trojúhelníky jsou shodné.

Zde platí ∆ ABC ≅ ∆ XYZ, protože AB = XY, BC = YZ a AC = XZ.
(2) Kritérium strany-úhlu-strany (SAS) pro shodnost:

Jsou-li dvě strany a úhel zahrnutý mezi dvěma stranami trojúhelníku rovny odpovídajícím dvěma stranám a zahrnutému úhlu jiného trojúhelníku, pak jsou trojúhelníky shodné.

Zde platí, že ∆ ABC ≅ ∆ XYZ, protože AB = XY, ∠A = ∠X a AC = XZ.
(3) Kritérium shodnosti úhlu a strany (ASA): Pokud se dva úhly a zahrnutá strana trojúhelníku rovnají odpovídajícím dvěma úhlům a zahrnuté straně jiného trojúhelníku, pak jsou tyto trojúhelníky shodné.

Na výše uvedeném obrázku je ∆ ABD ≅ ∆ CBD, ve kterém

∠ABD = ∠CBD, AB = CB a ∠ADB = ∠CDB.
(4) Pravoúhlé kritérium shodnosti:

Zde platí, že ∠B = ∠Y = 90° a AB = XY, AC = XZ.

Plocha trojúhelníku:

Plocha trojúhelníku je dána vzorcem

Plocha trojúhelníku = (1/2) * základna * výška

Pro zjištění plochy trojúhelníku sestrojíme kolmici ze základny na protější vrchol, která udává výšku trojúhelníku.

Takže plocha ∆ PQR = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 čtverečních jednotek.

Pro pravoúhlý trojúhelník je snadné zjistit obsah, protože k základně je kolmá strana, takže ji můžeme považovat za výšku.

Výška ∆ XYZ je XY a jeho obsah je (1/2) * XZ * XY čtverečních jednotek.

Jak nyní zjistíme obsah tupoúhlého trojúhelníku LMN ?

Pro tupoúhlý trojúhelník prodloužíme základnu a z vrcholu k prodloužené základně narýsujeme kolmici, která se stane výškou trojúhelníku.

Takže plocha ∆ LMN = (1/2) * LM * NK čtverečních jednotek. jednotek.

Řešte následující

1)

∆ ABC je pravoúhlý trojúhelník a CD ⊥ AB (⊥ znamená „kolmice“).

Najděte i) ∠ACD a ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35, 25

Answer: C

Vysvětlení:

Zvažte ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (protože součet úhlů v trojúhelníku je 180°)

90 + 65 + ∠ACD = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

V ∆ BCD, ∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180° (opět součet všech úhlů v trojúhelníku)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Určete, zda jsou následující trojúhelníky pravoúhlé

A. Oba jsou pravoúhlé trojúhelníky
B. ∆ ABC není pravoúhlý trojúhelník, ∆ DEF je pravoúhlý trojúhelník
C. ∆ ABC je pravoúhlý trojúhelník, ∆ DEF není pravoúhlý trojúhelník
D. Oba nejsou pravoúhlými trojúhelníky

Odpověď: B

Vysvětlení:

Trojúhelník, který splňuje Pythagorovu větu, je množina stran, které tvoří pravoúhlý trojúhelník.

3)

Pokud ∆ ABC = 3 (∆ DEF), která z následujících možností je správná?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° A DE = DF = 2 a EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° A DE = DF = 2 a EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° A DE = DF = 2 a EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° A DE = DF = 3 a EF = 3

Odpověď: C

Vysvětlení:

AB a AC jsou stejné → úhly protilehlé jsou stejné.

Tedy ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC a ∆ DEF jsou podobné.

.