Lássunk egy olyan feladatot, amely a határköltséggel kapcsolatos. Konkrétan azt szeretném megtudni, hogy a határköltség valójában hogyan viszonyul egy újabb tétel előállításának költségeihez. Nézzük meg a gördeszkás példánkat. Tegyük fel, hogy C(x) az x gördeszka előállításának teljes költsége. Ez a költségfüggvényünk; C(x) 1800 plusz 10x plusz 0,02x². Természetesen a költséget dollárban fogjuk megadni.
Három dolgot fogunk tenni. Megkeressük a határköltségfüggvényt, ez csak C'(x). B; megkeressük a c'(500) értéket és megadjuk az egységeket. A c. részben megkeressük az 501. gördeszka előállításának tényleges költségét, és összehasonlítjuk azt a b. rész tetején lévő válaszunkkal.
Meg akarjuk nézni, hogy valóban mennyire jó közelítés a határköltség az 501. gördeszka előállítására. Tehát első rész a; keressük meg a határköltségfüggvényt. A legfontosabb dolog, amit a határköltségről nem szabad elfelejteni, hogy az nem más, mint a cot deriváltja. Tehát a határköltség C'(x) lesz. Ez azt jelenti, hogy 1800 deriváltja 0, 10x deriváltja 10 plusz, 0,02x² deriváltja 2-szer 0,02, 0,04x. Ez elég egyszerű. Tehát ez az én határköltség függvényem.
B. rész; találd meg a határköltséget 500-nál, és add meg az egységeket. Tehát csak beillesztem az 500-at ebbe a függvénybe. C'(500) 10 plusz 0,04 szorozva 500-zal. Most 0,04-szer 500, amikor tizedesjegyekkel szorzok, úgy gondolhatok erre, mintha megszoroznám 4-gyel, majd elosztanám 100-zal. Ha megszorozzuk 4-gyel, akkor 2000-et kapunk. Ha elosztjuk 100-zal, akkor 20-at kapunk. 20 és 10 az 30. Tehát ez 30, és mi a mértékegység?
Memlékezzünk arra, hogy C'(500) valójában ugyanaz, mint dc/dx. Tehát a c'(x) értéket így is leírhatom. Ha ilyen formában írod a deriváltat, akkor sokkal könnyebb megnézni, hogy mik lennének az egységek. A költségfüggvény egységei osztva x egységeivel. A költségfüggvény egységei dollárban vannak. X csak a gördeszkák száma, tehát ez gördeszkánként dollár lenne, és ez az, amit itt kapunk; gördeszkánként dollár. Tehát ez egy szép módja annak, hogy megkapjuk az egységeket egy derivált volt, hogy nézd meg formában.
A c részben meg akarjuk találni az 501. tényleges költségét. Hadd vázoljam fel, hogy mit fogok itt csinálni. A tényleges költség C(501) mínusz c(500) lesz. Lássuk, hogy ez egy sokkal bonyolultabb számítás, mint amit az előbb csináltunk, de meg fogja adni az 501. gördeszka tényleges költségét. Végezzük el ezt a számítást itt jobbra.
Szóval szükségem van C(501) mínusz C(500) értékre. Hadd számoljam ki ezeket külön-külön. Először C(501). Ez az én költségfüggvényem. Ez 1800 plusz 10-szer 501 plusz 0,02 501². Tehát 1800 plusz 10-szer 501 az 5010 plusz 0,02-szer 501² az 251001. Akkor ezt meg kell szoroznom 0,02-vel. Ez ugyanaz, mintha megszoroznánk 2-vel, és elosztanánk 100-zal. Ha megszorozzuk 2-vel, akkor 502,002-t kapunk. Ha elosztom 100-zal, akkor ennyit kapok. Tehát plusz 5,010 plusz 1800. Most ha mindezt összeadjuk, észreveszem, hogy van 10,000, 30 és 2 cent. Plusz 1800 az 11,832 és 2 cent. Ez a költségem 501 gördeszkánál.
Mi a költségem 500-nál? Megint ezt a függvényt kell használnom 1800 plusz 10-szer 500 plusz 0,02-szer 500². Ez csak 1,800 plusz 5,000 plusz 500² az 250,000 szorozva 0.02-vel ismét szorozzuk meg 2,500,000-rel, és osszuk el 100-zal, ami azt jelenti, hogy egy tizedespontot teszek ide. Tehát ez 5,000 plusz egy másik 5,000 plusz 1800. Ez 11,800.
Most a különbség C(501) mínusz C(500) 30 dollár és 2 cent lesz. Ez most az 501. gördeszka előállításának tényleges költsége. Nézd, mennyi munkát végeztem csak azért, hogy kiderüljön, hogy a tényleges költség 30 dollár és 2 cent. Ez az 501. gördeszka tényleges költsége.
Az én közelítésem a határköltséget használva itt 30 dollár volt gördeszkánként. Ezt is sokkal könnyebb volt kiszámolni. Ez tehát a határköltség értéke. Vegyük a deriváltat, dugjuk be az 500-at, és nagyon pontos közelítést kapunk egy újabb gördeszka költségére, szemben ezzel a számítással, amit itt végeztem, amihez a deszka felére volt szükségem. Tehát a határköltség egy nagyon értékes fogalom. Egy nagyon gyors becslést ad egy újabb gördeszka előállítási költségéről.