Integrointi ja differentiaatio ovat kaksi erittäin tärkeää käsitettä laskennassa. Näitä käytetään muutoksen tutkimiseen. Laskennalla on monenlaisia sovelluksia monilla tieteenaloilla sekä taloudessa. Myös rahoitusalalla sekä pörssianalyysissä saatamme löytää laskutoimituksia. Tässä artikkelissa meillä on joitakin differentiointi- ja integrointikaavoja esimerkkeineen. Tutustutaan mielenkiintoiseen käsitteeseen!
Differentiaatio- ja integrointikaava
Mitä on differentiaatio?
Differentiaatio on algebrallinen menettely johdannaisten laskemiseksi. Funktion derivaatta on kyseisen kuvaajan kaltevuus tai kaltevuus missä tahansa pisteessä. Käyrän gradientti missä tahansa pisteessä on kyseiseen käyrään vedetyn tangentin arvo kyseisessä pisteessä. Epälineaaristen käyrien osalta käyrän gradientti vaihtelee akselin eri kohdissa. Näin ollen gradientin laskeminen tällaisissa tapauksissa on vaikeaa.
Se määritellään myös ominaisuuden muutokseksi suhteessa toisen ominaisuuden yksikkömuutokseen.
\(\frac{ \Delta f(x)}{\Delta x}\)
on f(x):n muutosnopeuden mitta suhteessa x:ään.
Ja tämän suhdeluvun raja-arvoa, kun \(\Delta\) x pyrkii nollaan,
eli \(\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x)}{\Delta x}\)
kutsutaan funktion f(x) ensimmäiseksi derivaataksi.
Mitä on integrointi?
Integrointi on prosessi, jossa lasketaan määrätyt tai epämääräiset integraalit. Jollekin funktiolle f(x) ja reaaliviivan suljetulle aikavälille,
määrätön integraali,
\(\int_{a}^{b} f(x)\;dx \)
on funktion kuvaajan, vaaka-akselin ja kahden pystysuoran viivan välinen alue. Nämä kaksi viivaa ovat intervallin päätepisteissä.
Kun tiettyä intervallia ei anneta, sitä kutsutaan epämääräiseksi integraaliksi.
Laskemme lopullisen integraalin käyttämällä antiderivaattoja. Siksi integrointi on differentioinnin käänteinen prosessi.
Muista, että differentiointi laskee käyrän kaltevuuden, kun taas integrointi laskee käyrän alapuolisen pinta-alan, toisaalta integrointi on sen käänteinen prosessi.
Joitakin perusdifferentiointikaavoja
(1) \(\frac{d}(dx}(c)\) = 0 , c on vakio.
(2) \(\frac{d}{dx}(x)\) = 1
(3) \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
(4) \(\frac{d}{dx}(u\pm v)= \frac{d}{dx}u\pm \frac{d}{dx}v \)
(6) \(ddx(uv)=udvdx+vdudx \)
(7) \(\frac{d}{dx}{uv}=u\frac{d}{dx}v+v\frac{d}{dx}\)u tämä on tuotesääntö
Joitakin integroinnin peruskaavoja
(1) \(\int 1\; dx = x+c \)
(2) \(\int m \;dx = mx + c \)
(3) \(\int x^n dx = \frac {x^{n+1}}{ n+1} + c \)
(4) \(\int sinx \;dx = -cos x +c \)
(5) \(\int cos x \;dx = sin x + c \)
(6) \(\int sec^2 x \;dx = tan x +c \)
(7) \(\int \frac{1}{x} \;dx = ln\; x + c \)
(8) \(\int e^x \;dx = e^x + c \)
(9) \(\int a^x \;dx = \frac{a^x}{ln \;a} + c \)
Ratkaistuja esimerkkejä sinulle
Q.1: Mikä on \(\frac{d}{dx} x^5\)?
Ratkaisu: Sovelletaan kaavaa
\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
Tässä n=5, Joten
Ratkaisu on \(5x^4 \)