Tehdään ongelma, joka liittyy marginaalikustannuksiin. Haluan erityisesti selvittää, miten rajakustannus oikeastaan vertautuu yhden ylimääräisen hyödykkeen tuottamisesta aiheutuviin kustannuksiin. Katsotaanpa skeittilaudan esimerkkiä. Oletetaan, että C(x) on x skeittilaudan tuottamisen kokonaiskustannus. Tämä on kustannusfunktiomme; C(x) on 1800 plus 10x plus 0,02x². Kustannukset ilmoitetaan tietysti dollareina.
Teemme kolme asiaa. Etsimme rajakustannusfunktion, joka on vain C'(x). B; löydämme c'(500) ja annamme yksiköt. Osassa c, löydämme 501:nnen skeittilaudan todelliset tuotantokustannukset ja vertaamme sitä vastaukseemme yläosassa b.
Haluamme nähdä, kuinka hyvä approksimaatio rajakustannus on tuon 501:nnen skeittilaudan tuotannossa. Ensimmäinen osa a; löydetään rajakustannusfunktio. Tärkeintä on muistaa, että rajakustannus on vain cot-arvon derivaatta. Rajakustannus on siis C'(x). Se on siis 1800:n derivaatta on 0, 10x:n derivaatta on 10 plus, 0,02x²:n derivaatta on 2 kertaa 0,02, 0,04x. Se on aika helppoa. Tämä on siis marginaalikustannusfunktioni.
B-osa; etsi marginaalikustannus 500:lla ja anna yksiköt. Yhdistän vain 500 tähän funktioon. C'(500) on 10 plus 0,04 kertaa 500. Nyt 0,04 kertaa 500, aina kun kerron desimaaliluvuilla, voin ajatella tämän kertovan 4:llä ja jakavan sitten 100:lla. Kertomalla 4:llä saan 2 000. Jakamalla 100:lla saan 20. 20 ja 10 on 30. Se on siis 30, ja mitkä ovat yksiköt?
Muistetaan, että C'(500) on itse asiassa sama kuin dc/dx. Voin siis kirjoittaa c'(x) näin. Kun kirjoitat derivaatan tässä muodossa, on paljon helpompi nähdä, mitkä olisivat yksiköt. Kustannusfunktion yksiköt jaettuna x:n yksiköillä. Kustannusfunktion yksiköt ovat dollareita. X on vain rullalautojen lukumäärä, joten tämä olisi dollaria per rullalauta, ja se on tässä; dollaria per rullalauta. Joten se on mukava tapa saada yksiköt derivaatan oli tarkastella sitä muodossa.
Tässä osassa c, haluamme löytää todelliset kustannukset 501st. Anna minun vain hahmotella, mitä aion tehdä tässä. Todelliset kustannukset ovat C(501) miinus c(500). Nähdään, että tämä on paljon monimutkaisempi laskutoimitus kuin mitä juuri teimme, mutta se antaa meille 501:nnen skeittilaudan todelliset kustannukset. Tehdään siis tämä laskelma täällä oikealla.
Tarvitaan siis C(501) miinus C(500). Lasken jokaisen niistä erikseen. Ensimmäinen C(501). Tämä on kustannusfunktioni. Se on 1800 plus 10 kertaa 501 plus 0,02 501². Eli 1800 plus 10 kertaa 501 on 5 010 plus 0,02 kertaa 501² on 251 001. Sitten minun on kerrottava tämä 0,02:lla. Se on sama kuin kertominen kahdella ja jakaminen sadalla. Kertomalla kahdella saisin 502 002. Jakamalla 100:lla saisin tämän. Eli plus 5 010 plus 1800. Kun nämä lasketaan yhteen, huomaan, että minulla on 10 000, 30 ja 2 senttiä. Plus 1800 on 11 832 ja 2 senttiä. Se on kustannukseni 501 skeittilaudalla.
Mikä on kustannukseni 500:lla? Minun täytyy käyttää tätä funktiota uudelleen 1800 plus 10 kertaa 500 plus 0,02 kertaa 500². Se on vain 1 800 plus 5 000 plus 500² on 250 000 kertaa 0,02 taas kerrotaan 2 500 000:lla ja jaetaan 100:lla eli laitan desimaalipisteen juuri tähän. Tämä on siis 5 000 plus toinen 5 000 plus 1800. Tämä antaa minulle 11 800.
Nyt ero C(501) miinus C(500) on 30 dollaria ja 2 senttiä. Tämä on 501:nnen skeittilaudan todelliset tuotantokustannukset. Katsokaa kaikkea sitä työtä, jonka tein vain saadakseni selville, että todelliset kustannukset ovat 30 dollaria ja 2 senttiä. Se on 501:nnen skeittilaudan todellinen kustannus.
Arvioni marginaalikustannusten avulla oli 30 dollaria skeittilaudalta. Tämäkin oli paljon helpompi laskea. Tämä on siis rajakustannusten arvo. Otetaan derivaatta, lisätään 500, ja saadaan hyvin tarkka likiarvo yhden skeittilaudan lisäkustannuksista, verrattuna tähän laskelmaan, jonka tein täällä ja joka vei minulta puolet laudasta. Rajakustannus on siis todella arvokas käsite. Sen avulla saa myös hyvin nopean arvion yhden skeittilaudan lisäkustannuksista.