Modulaarinen aritmetiikka
Jos muistelet jakamisen tekemistä kokonaisluvuilla, muistat ehkä, että jaon jälkeen on löydettävä kokonaisluvun tulos ja jäännös.
Moduuli
Moduuli on toinen nimi jäännökselle jakamisen jälkeen.
Esimerkiksi 17 mod 5 = 2, koska jos jaamme 17:llä 5:llä, saamme tulokseksi 3, jonka jäännös on 2.
Moduuliaritmetiikkaa kutsutaan joskus kelloaritmetiikaksi, koska analogiset kellot kiertävät kellonaikoja 12:n ohi eli ne toimivat 12:n moduulin mukaan. Jos kellon tuntiosoitin osoittaa tällä hetkellä kahdeksaa, viiden tunnin kuluttua se osoittaa yhtä. Vaikka 8 + 5 = 13, kello kiertää 12:n jälkeen, joten kaikki kellonajat voidaan ajatella moduulina 12. Matemaattisesti 13 mod 12 = 1.
Esimerkki 1
Lasketaan seuraava:
- 10 mod 3
- 15 mod 5
- 27 mod 5
Vastaukset
- Koska 10 jaettuna 3:lla on 3:lla, jonka jäännös on 1, niin 10 mod 3 = 1
- Koska 15 jaettuna 5:llä on 3:lla, jonka jäännös on 3, jonka jäännös ei ole 1, niin 15 moduloiduin luvuilla on 15 moduloiduin luvuilla on 15 moduloiduin luvuilla on 5:n jäännös, niin 15 moduloiduin luvuilla on 5:n jäännös, jonka jäännös on 1, niin 10 moduloiduin luvuilla = 1
- 27 = 128 128 jaettuna 5:llä on 25, jonka jäännös on 3, joten 27 mod 5 = 3
Kokeile nyt
Laske seuraavat:
- 23 mod 7
- 15 mod 7
- 2034 mod 7
Moduuli vakiolaskimella
Lasketaan mod n vakiolaskimella. laskimella
- Jaa a luvulla n
- Miinusta tuloksena saadusta suureesta koko osa
- Kerroin n:llä saadaksesi moduulin
- Joskus, sen sijaan, että näet 17 mod 5 = 2, näet 17 ≡ 2 (mod 5). ≡-symboli tarkoittaa ”yhtenevä” ja tarkoittaa, että 17 ja 2 ovat ekvivalentteja, kun otetaan huomioon moduuli 5. ↵