Määritelmä:

Kolmio koostuu kolmesta viivasegmentistä ja kolmesta kulmasta. Yllä olevassa kuvassa AB, BC, CA ovat kolme viivapätkää ja ∠A, ∠B, ∠C ovat kolme kulmaa.

On olemassa kolme kolmiotyyppiä sivujen perusteella ja kolme kulmien perusteella.

Kolmiotyypit sivujen perusteella

Eksisivuinen kolmio: Kolmio, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä pitkät, on tasasivuinen kolmio.

Koska kaikki sivut ovat yhtä pitkät, myös kaikki kulmat ovat yhtä pitkät.

Yhtäsivuinen kolmio: Kolmio, jolla on kaksi yhtä pitkää sivua, on tasakylkinen kolmio.

Tasakylkisten sivujen vastakkaiset kaksi kulmaa ovat yhtä suuret.

Skaalinen kolmio: Kolmio, jolla on kolme eripituista sivua, on nimeltään skaleninkolmio.

Kulmiin perustuvia kolmiotyyppejä

Kulmakulmainen kolmio: Kolmio, jonka kaikki kulmat ovat teräväkulmaisia, on nimeltään teräväkulmainen kolmio tai akuutti kolmio.

Tylsäkulmainen kolmio: Kolmio, jonka yksi kulma on tylppä, on tylppäkulmainen kolmio tai tylppä kolmio.

Oikeakulmainen kolmio: Kolmio, jonka yksi kulma on suorakulmainen, on suorakulmainen kolmio eli suorakulmainen kolmio.

Yllä olevassa kuvassa suorakulman vastakkaista sivua BC kutsutaan hypotenuusaksi.

Suorakulmaisen kolmion ABC,

BC2 = AB2 + AC2

Tätähän sanotaan Pythagoraan lauseeksi.

Yllä olevassa kolmiossa 52 = 42 + 32. Vain sellainen kolmio, joka täyttää tämän ehdon, on suorakulmainen kolmio.

Pythagoraan lause auttaa siis selvittämään, onko kolmio suorakulmainen.

Kolmioiden tyypit

Suorakulmaisia kolmioita on erilaisia. Tästä lähtien keskitymme vain erityiseen suorakulmaisten kolmioiden pariin.

1. 45-45-90-kolmio
2. 30-60-90-kolmio

45-45-90-kolmio:

Nimensä mukaisesti 45-45-90-kolmio on suorakulmainen kolmio, jossa kaksi muuta kulmaa ovat kumpikin 45°.

Tämä on tasakylkinen suorakulmainen kolmio.

Suhteessa ∆ DEF, DE = DF ja ∠D = 90°.

45-45-90 kolmion sivut ovat suhteessa 1 : 1 : √2.
30-60-90-kolmio:

Kolmio 30-60-90 on nimensä mukaisesti suorakulmainen kolmio, jonka kaksi muuta kulmaa ovat 30° ja 60°.

Tämä on skaleenimuotoinen suorakulmainen kolmio, koska yksikään sivu tai kulma ei ole yhtä suuri.

Kolmion 30-60-90 sivut ovat suhteessa 1 : √3 : 2

Kuten kaikki muutkin suorakulmaiset kolmiot, nämä kaksi kolmiota täyttävät Pythagoraan lauseen.

Kolmioiden perusominaisuudet

• Kolmion kulmien summa on 180°. Tätä kutsutaan kulmasummaominaisuudeksi.
• Kolmion minkä tahansa kahden sivun pituuksien summa on suurempi kuin kolmannen sivun pituus. Vastaavasti minkä tahansa kolmion kahden sivun pituuksien erotus on pienempi kuin kolmannen sivun pituus.
• Kolmion suurinta kulmaa vastapäätä oleva sivu on kolmion pisin sivu ja pienintä kulmaa vastapäätä oleva sivu on kolmion lyhin sivu.


Yllä olevassa kuvassa ∠B on suurin kulma ja sitä vastapäätä oleva sivu (hypotenuusa), on kolmion suurin sivu.



Yllä olevassa kuvassa ∠A on suurin kulma ja sitä vastapäätä oleva sivu BC (hypoteesi) on kolmion suurin sivu.

• Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin sen vastakkaisten sisäkulmien summa. Tätä kutsutaan kolmion ulkokulmaominaisuudeksi.


Tässä ∠ACD on ∆ABC:n ulkokulma.

Ulkokulmaominaisuuden mukaan ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Similariteetti ja kongruenssi kolmioissa

Kooltaan ja muodoltaan samankokoiset kuviot ovat kongruentteja. Jos kaksi hahmoa on yhtenevä, ne pysyvät yhteneväisinä, vaikka niitä siirrettäisiin tai käännettäisiin. Muodot pysyisivät yhteneväisinä myös, jos peilaamme muotoja tuottamalla niistä peilikuvia. Kaksi geometrista muotoa on kongruentti, jos ne peittävät toisensa täsmälleen.

Muodoltaan samankaltaiset, mutta kooltaan verrannolliset hahmot ovat samankaltaisia hahmoja. Ne pysyvät samankaltaisina, vaikka niitä siirrettäisiin tai käännettäisiin.

Kolmioiden samankaltaisuus

Kahden kolmion sanotaan olevan samankaltaisia, jos kahden kolmion vastaavat kulmat ovat yhteneviä ja vastaavien sivujen pituudet ovat verrannollisia.

Kirjoitetaan ∆ ABC ∼ ∆ XYZ ja sanotaan, että ∆ ABC ’on samankaltainen kuin’ ∆ XYZ.

Tässä ∠A = ∠X, ∠B =∠Y ja ∠C = ∠Z JA

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

Tarvittavat ja riittävät ehdot sille, että kaksi kolmiota on samankaltaisia, ovat seuraavat:
(1) Side-Side-Side (SSS) -kriteeri samankaltaisuudelle:

Jos kolmion kolme sivua ovat verrannollisia toisen kolmion vastaaviin kolmeen sivuun, niin kolmioiden sanotaan olevan samankaltaisia.

Tässä ∆ PQR ∼ ∆ DEF as

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Sivukulma-sivukulma (SAS) -kriteeri samankaltaisuudelle:

Jos kahden kolmion kaksi vastaavaa sivua ovat verrannollisia ja yksi sisältämässä oleva kulma on samanarvoinen kuin toisen kolmion vastaava sisältämässä oleva kulma, niin kolmiot ovat samankaltaisia.

Tässä ∆ LMN ∼ ∆ QRS, jossa

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) Kulma-kulma-kulma-kulma (AAA) samankaltaisuuskriteeri:

Jos kahden kolmion kolme vastaavaa kulmaa ovat yhtä suuret, niin nämä kaksi kolmiota ovat samankaltaisia.

Tässä ∆ TUV ∼ ∆ PQR as

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q ja ∠V = ∠R

Kolmioiden yhtenevyys

Kahden kolmion sanotaan olevan yhteneviä, jos toisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion vastaavat sivut ja vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.

Se kirjoitetaan ∆ ABC ≅ ∆ XYZ ja sanotaan ∆ ABC ’on yhteneväinen’ ∆ XYZ:n kanssa.

Tarvittavat ja riittävät ehdot sille, että kaksi kolmiota on yhteneviä, ovat seuraavat:
(1) Sivu-sivu-sivu (SSS) -kriteeri yhtenevyydelle:

Jos kolmion kolme sivua ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion vastaavat kolme sivua, niin kolmioiden sanotaan olevan yhteneviä.

Tässä ∆ ABC ≅ ∆ XYZ, koska AB = XY, BC = YZ ja AC = XZ.
(2) Sivukulma-sivukulma (SAS) -kriteeri kongruenssille:

Jos kolmion kaksi sivua ja niiden välissä oleva kulma ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion vastaavat kaksi sivua ja niiden välissä oleva kulma, niin kolmiot ovat kongruentteja.

Tässä ∆ ABC ≅ ∆ XYZ, koska AB = XY, ∠A = ∠X ja AC = XZ.
(3) Kulma-sivukulma-kulman (ASA) yhtenevyyskriteeri: Jos kolmion kaksi kulmaa ja siihen sisältyvä sivu ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion vastaavat kaksi kulmaa ja siihen sisältyvä sivu, kolmiot ovat yhteneviä.

Yllä olevassa kuvassa ∆ ABD ≅ ∆ CBD, jossa

∠ABD = ∠CBD, AB = CB ja ∠ADB = ∠CDB.
(4) Oikean kulman hypotenuusan kongruenssikriteeri: Jos suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja yksi sivu ovat yhtä suuret kuin toisen suorakulmaisen kolmion vastaava hypotenuusa ja sivu, niin kolmiot ovat yhtenevät.

Tässä tapauksessa ∠B = ∠Y = 90° ja AB = XY, AC = XZ.

Kolmion pinta-ala:

Kolmion pinta-ala saadaan kaavalla

Kolmion pinta-ala = (1/2) * Pohja * Korkeus

Kolmion pinta-alan selvittämiseksi piirretään peruslohkosta kohtisuoraan viiva vastakkaiseen kärkipisteeseen, joka antaa kolmion korkeuden.

Siten ∆ PQR = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 neliöyksikköä.

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on helppo löytää, koska siinä on pohjaan nähden kohtisuorassa oleva sivu, joten voimme pitää sitä korkeutena.

∆ XYZ:n korkeus on XY ja sen pinta-ala on (1/2) * XZ * XY neliöyksikköä.

Miten löydämme nyt tylppäkulmaisen kolmion LMN pinta-alan ?

Tylpän kolmion pohjaa jatketaan ja piirretään kärkipisteestä kohtisuoraan viiva jatkettuun pohjaan, josta tulee kolmion korkeus.

Siten ∆ LMN pinta-ala = (1/2) * LM * NK neliöyksikköä. yksikköä.

Ratkaise seuraavat

1)

∆ ABC on suorakulmainen kolmio ja CD ⊥ AB (⊥ tarkoittaa ’kohtisuoraa’).

Löydä i) ∠ACD ja ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35, 25

Vastaus: 35, 25

Vast: C

Selitys:

Harkitse ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (koska kolmion kulmien summa on 180°)

90 + 65 + ∠ACD. = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

In ∆ BCD, ∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180° (jälleen kolmion kaikkien kulmien summa)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Määritä, ovatko seuraavat suorakulmaiset kolmiot

A. Molemmat ovat suorakulmaisia kolmioita
B. ∆ ABC ei ole suorakulmainen kolmio, ∆ DEF on suorakulmainen kolmio
C. ∆ ABC on suorakulmainen kolmio, ∆ DEF ei ole suorakulmainen kolmio
D. Molemmat eivät ole suorakulmaisia kolmioita

Vastaus: B

Selitys:

Pythagoraan lauseen täyttävä kolmio on niiden sivujen joukko, jotka muodostavat suorakulmaisen kolmion.

3)

Jos ∆ ABC = 3 (∆ DEF), mikä seuraavista on oikein?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° JA DE = DF = 2 ja EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° JA DE = DF = 2 ja EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° JA DE = DF = 2 ja EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° JA DE = DF = 3 ja EF = 3

Vast: C

Selitys:

AB ja AC ovat yhtä suuret → vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.

Siten ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC ja ∆ DEF ovat samankaltaisia.