Logaritmien historia

Logaritmien keksimistä ennakoi aritmeettisten ja geometristen sarjojen vertailu. Geometrisessa sarjassa jokainen termi muodostaa vakiosuhteen seuraajansa kanssa; esimerkiksi …1/1,000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1,000… on yhteinen suhde 10. Aritmeettisessa sarjassa jokainen peräkkäinen termi eroaa toisistaan vakiolla, jota kutsutaan yhteiseksi erotukseksi; esimerkiksi …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… on yhteinen erotus 1. Huomaa, että geometrinen sarja voidaan kirjoittaa sen yhteisellä suhdeluvulla; edellä esitetyn geometrisen esimerkkijakson osalta: …10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103…. Kahden geometriseen sarjaan kuuluvan luvun, esimerkiksi 1/10 ja 100, kertominen keskenään on yhtä kuin yhteisen suhteen vastaavien eksponenttien -1 ja 2 yhteenlasku, jolloin saadaan 101 = 10. Näin kertominen muuttuu yhteenlaskuksi. Näiden kahden sarjan alkuperäinen vertailu ei kuitenkaan perustunut eksponentiaalisen merkintätavan nimenomaiseen käyttöön; tämä oli myöhempi kehitys. Vuonna 1620 sveitsiläinen matemaatikko Joost Bürgi julkaisi Prahassa ensimmäisen taulukon, joka perustui geometristen ja aritmeettisten sarjojen suhteuttamisen käsitteeseen.

Skotlantilainen matemaatikko John Napier julkaisi logaritmien löytönsä vuonna 1614. Hänen tarkoituksenaan oli auttaa kertolaskuissa, joita silloin kutsuttiin siniksi. Koko sini oli sellaisen suorakulmaisen kolmion sivun arvo, jossa oli suuri hypotenuusa. (Napierin alkuperäinen hypotenuusa oli 107.) Hänen määritelmänsä annettiin suhteellisten nopeuksien avulla.

Minkä tahansa sinin logaritmi on siis luku, joka hyvin niukasti ilmaisee suoran, joka lisääntyi yhtä paljon meeneessä ajassa, kun taas koko sinin viiva väheni suhteessa tuohon siniin, kun molemmat liikkeet ovat yhtä ajallisia ja alku yhtä paljon siirtynyt.

Yhteistyössä englantilaisen matemaatikon Henry Briggsin kanssa Napier muokkasi logaritminsa nykyaikaiseen muotoonsa. Napierin logaritmissa vertailu tapahtuisi pisteiden välillä, jotka liikkuvat asteikollisella suoralla, L-piste (logaritmia varten) liikkuu tasaisesti miinus äärettömästä plus äärettömään, X-piste (siniä varten) liikkuu nollasta äärettömään nopeudella, joka on verrannollinen sen etäisyyteen nollasta. Lisäksi L on nolla, kun X on yksi, ja niiden nopeus on tässä pisteessä sama. Napierin löydön ydin on se, että tämä on aritmeettisen ja geometrisen sarjan välisen suhteen yleistäminen; toisin sanoen X-pisteen arvojen kertominen ja potenssiin korottaminen vastaavat vastaavasti L-pisteen arvojen yhteen- ja kertolaskua. Käytännössä on kätevää rajoittaa L:n ja X:n liikettä vaatimuksella, että L = 1, kun X = 10, sen ehdon lisäksi, että X = 1, kun L = 0. Tällä muutoksella saatiin aikaan Briggsin eli yleinen logaritmi.

Napier kuoli vuonna 1617, ja Briggs jatkoi yksin, ja hän julkaisi vuonna 1624 taulukon logaritmeista, jotka oli laskettu 14 desimaalin tarkkuudella luvuille 1:n ja 20 000:n välillä ja 90 000:n ja 100 000:n välillä. Vuonna 1628 hollantilainen kustantaja Adriaan Vlacq julkaisi kymmenpaikkaisen taulukon arvoille 1-100 000, johon oli lisätty puuttuvat 70 000 arvoa. Sekä Briggs että Vlacq osallistuivat log trigonometristen taulukoiden laatimiseen. Tällaiset varhaiset taulukot olivat joko asteen sadasosan tai kaariminuutin tarkkuudella. 1700-luvulla julkaistiin taulukoita 10 sekunnin välein, mikä oli kätevää seitsemän desimaalin tarkkuudella toimiville taulukoille. Yleensä pienempien lukujen logaritmisia funktioita laskettaessa tarvitaan hienompia välejä – esimerkiksi funktioiden log sin x ja log tan x laskemisessa.

Logaritmien saatavuus vaikutti suuresti taso- ja pallotrigonometrian muotoon. Trigonometrian menettelyt muotoiltiin uudelleen niin, että saatiin aikaan kaavoja, joissa logaritmeista riippuvat operaatiot tehdään kerralla. Taulukoihin turvautuminen koostui tällöin vain kahdesta vaiheesta, logaritmien hankkimisesta ja logaritmeilla suoritettujen laskutoimitusten jälkeen antilogaritmien hankkimisesta.

Francis J. Murray