Abstract

Lukukäsitteen niin sanottujen laajennusten ymmärtämiseen päästään yksinkertaisimmin yhteenlaskun, kertolaskun ja potensoinnin käänteisoperaatioiden kautta. Aloitetaan tutkimuksemme Russellin havainnolla, joka paljastaa perusvirheen näiden uusien ”lukujen” vakiintuneessa käsityksessä: ”Yksi virheistä, jotka ovat viivästyttäneet oikeiden määritelmien löytämistä tällä alueella, on yleinen ajatus siitä, että jokainen luvun laajennus sisälsi edelliset lajit erikoistapauksina. Ajateltiin, että positiivisia ja negatiivisia kokonaislukuja käsiteltäessä positiiviset kokonaisluvut voitaisiin samaistaa alkuperäisiin merkittömiin kokonaislukuihin. Samoin ajateltiin, että murtoluku, jonka nimittäjä on 1, voidaan samaistaa luonnolliseen lukuun, joka on sen osoittaja. Irrationaalisten lukujen, kuten 2:n neliöjuuren, oletettiin löytävän paikkansa rationaalisten murtolukujen joukosta, sillä ne olivat suurempia kuin toiset ja pienempiä kuin toiset, joten rationaaliset ja irrationaaliset luvut voitiin ottaa yhdeksi luokaksi, jota kutsuttiin ”reaaliluvuiksi”. Ja kun luvun käsitettä laajennettiin edelleen niin, että siihen sisällytettiin ”kompleksiluvut” eli luvut, joissa on neliöjuuri – 1, ajateltiin, että reaaliluvuiksi voitaisiin katsoa ne kompleksilukujen joukossa olevat luvut, joiden imaginääriosa (eli se osa, joka oli neliöjuuren – 1 kerrannainen) oli nolla. Kaikki nämä olettamukset olivat virheellisiä, ja ne on hylättävä… jos halutaan antaa oikeita määritelmiä. ”1