Sivut
Permutaatiot
Permutaatiot ja yhdistelmät
Laskentamenetelmät
Faktoriaalioppitunnit
Todennäköisyys

Mitä on yhdistelmä matematiikassa?

Objektien yhdistelmää, jossa järjestyksellä ei ole väliä, sanotaan yhdistelmäksi. Tämä eroaa permutaatiosta, jossa järjestyksellä on merkitystä. Oletetaan esimerkiksi, että järjestämme kirjaimet A, B ja C. Permutaatiossa järjestys ABC ja ACB ovat erilaisia. Mutta kombinaatiossa järjestelyt ABC ja ACB ovat samat, koska järjestyksellä ei ole merkitystä.

Mikä on kombinaation kaava?

R kerrallaan otettujen n asian r:n kombinaatioiden lukumäärä kirjoitetaan C(n, r):ksi.

Seuraavassa kaaviossa on esitetty kombinaation kaava. Vieritä sivua alaspäin saadaksesi lisää esimerkkejä ja ratkaisuja yhdistelmäkaavan käytöstä.

Jos n! (n faktoriaalin merkintätapa) ei ole sinulle tuttu, niin käy katsomassa faktoriaalin oppitunti

How To Use The Combination Formula To Solve Word Problems?

Alkuperäinen esimerkki:
Millä monella eri tavalla valmentaja voi valita kolme uimaria viidestä uimarista?

Ratkaisu:
On viisi uimaria, joista otetaan kolme kerrallaan.
Käyttämällä kaavaa:

Valmentaja voi valita uimarit kymmenellä eri tavalla.

Esimerkki:
Kuusi kaveria haluaa pelata sen verran shakkipelejä, että jokainen pelaa kaikkia vastaan. Kuinka monta peliä heidän on pelattava?

Ratkaisu:
Kuusi pelaajaa otetaan kaksi kerrallaan.
Käyttämällä kaavaa:

Heidän on pelattava 15 peliä.

Esimerkki:
Lottokupongissa jokaisessa kupongissa on 5 yksinumeroista numeroa 0-9.
a) Voitat, jos lippusi numerot ovat missä tahansa järjestyksessä. Mitkä ovat voittomahdollisuutesi?
b) Voittaisit vain, jos lippusi numerot ovat vaaditussa järjestyksessä. Mitkä ovat voittomahdollisuutesi?

Ratkaisu:
Lipussa on 10 numeroa, joista otetaan 5 kerrallaan.

a) Käyttämällä kaavaa:

Voittomahdollisuutesi on 1 252:sta.

b) Koska järjestyksellä on väliä, meidän pitäisi käyttää yhdistelmän sijasta permutaatiota.
P(10, 5) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240

Voiton todennäköisyys on 1 30240:stä.

Miten arvioida kombinaatioita sekä ratkaista laskentatehtäviä kombinaatioiden avulla?

Kombinaatio on esineiden ryhmittely tai osajoukko. Yhdistelmän kohdalla järjestyksellä ei ole väliä.

Miten monta kolmen hengen komiteaa voidaan muodostaa neljän oppilaan ryhmästä?
Tämä on yhdistelmä ja se voidaan kirjoittaa muodossa C(4,3) tai 4C3 tai \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\\\3\end{array}} \right)\).

Esimerkkejä:

1. Jalkapallojoukkueessa on 20 pelaajaa. Kentällä on aina 11 pelaajaa. Kuinka monta eri pelaajaryhmää voi olla kentällä kerrallaan?
2. Opiskelija tarvitsee vielä 8 kurssia saadakseen tutkintonsa valmiiksi. Jos hän täytti kaikkien kurssien edellytykset, kuinka monella tavalla hän voi ottaa 4 kurssia ensi lukukaudella?
3. Pienessä toimistossa on 4 miestä ja 5 naista. Asiakas haluaa työmaakäynnin 2 miehen ja 2 naisen ryhmältä. Kuinka monta erilaista ryhmää toimistosta voidaan muodostaa?

• Näytä videotunti

Miten ratkaista yhdistelmäongelmia, joissa valitaan ryhmiä ehdollisten kriteerien perusteella?

Esimerkki:ämpäri sisältää seuraavat kuulat: 4 punaista, 3 sinistä, 4 vihreää ja 3 keltaista, eli yhteensä 14 kuulaa. Jokainen marmori on merkitty numerolla, jotta ne voidaan erottaa toisistaan.

1. Miten monta neljän marmorin joukkoa/ryhmää on mahdollista?
2. Miten monta neljän marmorin joukkoa/ryhmää on olemassa siten, että jokainen marmori on erivärinen?
3. Miten monta neljän marmorin joukkoa/ryhmää on olemassa siten, että niistä vähintään kaksi on punaisia?
4. Miten monta 4:n joukkoa on olemassa, joissa yksikään ei ole punainen, mutta vähintään yksi on vihreä?

• Näytä videon oppitunti

Miten ratkaistaan permutaatioita ja kombinaatioita sisältäviä sananlaskuongelmia?

Esimerkkejä:

1. Museossa on 7 Picasson maalausta, ja museo haluaa järjestää niistä 3 samalle seinälle. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä?
2. Millä tavoin voit järjestää sanan LOLLIPOP kirjaimet?
3. Pokeria pelaavalle henkilölle jaetaan 5 korttia. Kuinka monta erilaista kättä pelaaja olisi voinut saada?

• Näytä videotunti

Kokeile alla olevaa ilmaista Mathway-laskuria ja ongelmanratkaisijaa harjoitellaksesi erilaisia matematiikan aiheita. Kokeile annettuja esimerkkejä tai kirjoita oma ongelmasi ja tarkista vastauksesi vaiheittaisten selitysten avulla.