Faisons un problème qui implique le coût marginal. Je veux spécifiquement découvrir comment le coût marginal se compare réellement au coût de production d’un article supplémentaire. Reprenons notre exemple de skateboard. Supposons que C(x) soit le coût total de la production de x planches à roulettes. Voici notre fonction de coût : C(x) est 1800 plus 10x plus 0,02x². Bien sûr, le coût va être en dollars.
Nous allons faire trois choses. Nous allons trouver la fonction de coût marginal, c’est juste C'(x). B ; nous allons trouver le c'(500) et donner les unités. Dans la partie c, nous trouverons le coût réel de production de la 501e planche à roulettes, et nous le comparerons avec notre réponse en haut de la partie b.
Nous voulons voir vraiment quelle est la bonne approximation du coût marginal pour produire cette 501e planche à roulettes. Donc première partie a ; trouver la fonction de coût marginal. La chose la plus importante à retenir à propos du coût marginal est que c’est juste la dérivée de cot. Donc le coût marginal va être C'(x). La dérivée de 1800 est 0, la dérivée de 10x est 10 plus, la dérivée de 0,02x² est 2 fois 0,02, 0,04x. C’est assez facile. Donc c’est ma fonction de coût marginal.
Partie b ; trouver le coût marginal à 500, et donner les unités. Donc je vais juste insérer 500 dans cette fonction. C'(500) est 10 plus 0.04 fois 500. Maintenant, 0,04 fois 500, chaque fois que je multiplie par des décimales, je peux penser que c’est comme multiplier par 4 puis diviser par 100. Multiplier par 4 me donne 2 000. En divisant par 100, on obtient 20. 20 et 10 font 30. Donc ça fait 30, et quelles sont les unités ?
Souvenons-nous que C'(500) est en fait la même chose que dc/dx. Donc je peux écrire c'(x) de cette façon. Lorsque vous écrivez la dérivée sous cette forme, il est beaucoup plus facile de voir quelles seraient les unités. Les unités de la fonction de coût divisées par les unités de x. La fonction de coût a des unités de dollars. X est juste le nombre de skateboards, donc ce serait des dollars par skateboard, et c’est ce que nous avons ici ; des dollars par skateboard. Donc, c’est une bonne façon d’obtenir les unités pour une dérivée était de la regarder sous forme.
Dans la partie c, nous voulons trouver le coût réel de la 501e. Laissez-moi juste esquisser ce que je vais faire ici. Le coût réel va être C(501) moins c(500). Ce calcul est beaucoup plus compliqué que celui que nous venons de faire, mais il nous donnera le coût réel de la 501e planche à roulettes. Donc, prenons ce calcul ici à droite.
Donc, j’ai besoin de C(501) moins C(500). Laissez-moi calculer chacun d’entre eux séparément. D’abord C(501). C’est ma fonction de coût. C’est 1800 plus 10 fois 501 plus 0.02 501². C’est donc 1800 plus 10 fois 501, soit 5 010 plus 0,02 fois 501², soit 251 001. Ensuite, je dois multiplier ça par 0,02. C’est la même chose que de multiplier par 2, et de diviser par 100. En multipliant par 2, j’obtiens 502 002. Diviser par 100 me donnerait ça. Donc plus 5 010 plus 1800. En additionnant tout ça, je remarque que j’ai 10 000, 30, et 2 cents. Plus 1800, ça fait 11 832, et 2 cents. C’est mon coût à 501 skateboards.
Quel est mon coût à 500 ? Je dois utiliser cette fonction à nouveau 1 800 plus 10 fois 500 plus 0,02 fois 500². C’est juste 1 800 plus 5 000 plus 500², c’est 250 000 fois 0,02 encore multiplié par 2 500 000, et divisé par 100 signifie que j’ai mis un point décimal juste là. Donc c’est 5 000 plus un autre 5 000 plus 1800. Cela va me donner 11 800.
Maintenant la différence C(501) moins C(500) va être de 30$ et 2 cents. C’est le coût réel de la production de la 501e planche à roulettes. Regardez tout le travail que je viens de faire juste pour trouver que le coût réel est de 30 $ et 2 cents. C’est le coût réel de cette 501ème planche à roulettes.
Mon approximation utilisant le coût marginal ici était de 30$ par planche à roulettes. C’était beaucoup plus facile à calculer aussi. Donc c’est la valeur du coût marginal. Prenez la dérivée, branchez 500, et vous obtenez une approximation très précise du coût d’une planche à roulettes de plus, par rapport à ce calcul fait ici qui m’a pris la moitié de la planche. Le coût marginal est donc un concept très utile. Il vous donne une estimation très rapide du coût de production d’un skateboard de plus.