C’est une fois de plus le jour de Pi (14 mars – ce qui correspond aux premiers chiffres de pi : 3 et 14). Avant d’entrer dans la célébration de pi de cette année, laissez-moi juste résumer certaines des choses les plus importantes sur ce nombre génial.

• En dehors des États-Unis, le jour de Pi devrait probablement être le 22 juillet (22/7)-cette fraction est une estimation étonnamment bonne de pi.
• Vous pouvez trouver la valeur de pi avec une masse et un ressort.
• La valeur de pi est liée au champ gravitationnel local.
• Vous pouvez trouver la valeur de pi en utilisant des nombres aléatoires (celui-ci est mon préféré).
• Et enfin – il existe une relation entre pi, e, 1, 0 et i (le nombre imaginaire).

Mais aujourd’hui, je vais calculer pi avec une intégrale numérique. Qu’est-ce que cela signifie ? Je vais commencer par un exemple : comment trouver l’aire d’un demi-cercle ?

L’aire d’un cercle est égale à pi fois le rayon au carré. Il s’agit de la moitié d’un cercle de rayon 1 (sans unité) tel qu’il aurait une aire de pi/2. Si je trouve l’aire avec une autre méthode, je peux simplement multiplier cette aire par 2 et obtenir pi. C’est le plan.

Mais comment trouver l’aire d’une forme quelconque – ou de n’importe quelle forme d’ailleurs ? C’est là que les calculs sont utiles. Je peux trouver l’aire du demi-cercle en additionnant l’aire d’un tas de rectangles. Il s’avère qu’il est assez facile de trouver l’aire d’un rectangle. Laissez-moi juste dessiner quelques rectangles dans ce demi-cercle pour que vous puissiez voir ce que je veux dire.

L’aire de chacun de ces rectangles minces peut être trouvée avec la formule « base fois hauteur. » Un rectangle a une hauteur de « y » et une base de « dx » où dx est juste une longueur arbitraire le long de l’axe des x. Je peux trouver la valeur réelle de la hauteur parce que le haut du rectangle touche le cercle où cette hauteur peut être trouvée à partir de l’équation d’un cercle.

Maintenant, j’ai juste besoin d’additionner tous ces rectangles-boom, c’est l’aire de la moitié d’un cercle. Je peux l’écrire comme une somme d’aires comme ceci:

Mais attendez ! N’est-ce pas une mauvaise approximation de l’aire réelle d’un cercle (demi-cercle) ? Oui, c’est en effet vrai – mais cela dépend vraiment de la largeur de ces petits rectangles d’aire. En fait, si je prends la limite lorsque la largeur (dx) devient nulle, j’obtiendrai l’aire exacte. C’est en fait la définition de l’intégrale en calcul, mais je vais garder cela pour un autre jour. À la place, nous allons effectuer un calcul numérique en additionnant simplement les surfaces de plusieurs rectangles. Vous pourriez bien sûr le faire à la main, mais cela pourrait devenir ennuyeux. A la place, faisons-le avec un programme informatique. Yup.

Voici le calcul numérique en python. Vous pouvez aller de l’avant et exécuter le code en appuyant sur le bouton « play », mais je vais donner quelques commentaires de code ci-dessous.

Vous pouvez changer le code si cela vous rend heureux – il y a quelques choses à considérer.

• C’est un calcul numérique. Cela signifie que le programme ne traite que des nombres. Techniquement, la surface devrait avoir des unités de m2 ou quelque chose comme ça, mais pas ici. Seulement des nombres.
• Pour les boucles en python, cela inclut tout ce qui est indenté par une tabulation comme faisant partie de la boucle. Une fois que vous dédentez, ce n’est plus dans une boucle.
• La ligne 18 devrait sembler bizarre parce qu’elle l’est. Si vous considérez cela comme une équation algébrique, le A devrait s’annuler puisqu’il se trouve des deux côtés de l’équation – mais ce n’est pas une équation. En python (et dans la plupart des autres langages), le « = » signifie « rendre égal à ». Cette ligne prend l’ancienne valeur de A, ajoute les nouvelles choses et en fait ensuite la nouvelle valeur de A.

Ce calcul initial a un dx de 0,1. Cela signifie qu’il n’y aura que 20 rectangles à additionner pour obtenir l’aire du demi-cercle. Avec cela, j’obtiens une valeur approximative de pi de 3,10452 – ce qui n’est clairement pas le pi exact. Bien sûr, je peux obtenir une meilleure estimation en faisant des rectangles de plus petite largeur. Vous devriez essayer de le faire en modifiant le code ci-dessus (indice : changez la valeur de dx). Cependant, puisque je ne peux pas laisser tomber, voici un tracé de la valeur de pi pour différentes tailles de pas.

Peut-être que ce n’est pas le meilleur tracé, mais c’est suffisant pour le moment. Si vous voulez voir le code de ce tracé, c’est ici. Mais au final, la valeur s’approche de la valeur attendue de pi. Cette méthode ne vous permettra peut-être pas d’obtenir un million de chiffres de pi, mais vous pourrez peut-être au moins apprendre quelque chose sur l’intégration.