Cercles

Objectif(s) d’apprentissage :

– Identifier les propriétés des cercles.

– Trouver la circonférence d’un cercle.

– Trouver l’aire d’un cercle.

– Trouver l’aire et le périmètre de figures géométriques composées.

Les cercles sont une forme commune. On en voit partout – les roues d’une voiture, les frisbees qui passent dans l’air, les disques compacts qui délivrent des données. Ce sont tous des cercles.

Un cercle est une figure bidimensionnelle tout comme les polygones et les quadrilatères. Cependant, les cercles sont mesurés différemment de ces autres formes – vous devez même utiliser certains termes différents pour les décrire. Jetons un coup d’œil à cette forme intéressante.

Un cercle représente un ensemble de points, qui sont tous à la même distance d’un point fixe et central. Ce point fixe est appelé le centre. La distance du centre du cercle à n’importe quel point du cercle s’appelle le rayon.

Lorsque deux rayons (le pluriel de rayon) sont mis ensemble pour former un segment de ligne à travers le cercle, vous avez un diamètre. Le diamètre d’un cercle passe par le centre du cercle et a ses extrémités sur le cercle lui-même.

Le diamètre d’un cercle quelconque est deux fois la longueur du rayon de ce cercle. Il peut être représenté par l’expression 2r, ou « deux fois le rayon ». Ainsi, si vous connaissez le rayon d’un cercle, vous pouvez le multiplier par 2 pour trouver le diamètre ; cela signifie également que si vous connaissez le diamètre d’un cercle, vous pouvez le diviser par 2 pour trouver le rayon.

La distance autour d’un cercle est appelée la circonférence. (Rappelons que la distance autour d’un polygone est le périmètre.)

Une propriété intéressante des cercles est que le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre est le même pour tous les cercles. Quelle que soit la taille du cercle, le rapport de la circonférence et du diamètre sera le même.

Certaines mesures réelles de différents articles sont fournies ci-dessous. Les mesures sont précises au millimètre ou au quart de pouce près (selon l’unité de mesure utilisée). Regardez le rapport entre la circonférence et le diamètre pour chacun d’eux – bien que les articles soient différents, le rapport pour chacun est approximativement le même.

La circonférence et le diamètre sont des mesures approximatives, car il n’y a pas de moyen précis de mesurer ces dimensions exactement. Cependant, si vous étiez en mesure de les mesurer plus précisément, vous constateriez que le rapport se rapprocherait de 3,14 pour chacun des éléments donnés. Le nom mathématique du rapport est pi, et est représenté par la lettre grecque .

est une décimale non terminale et non répétitive, il est donc impossible de l’écrire complètement. Les 10 premiers chiffres de sont 3,141592653 ; ils sont souvent arrondis à 3,14 ou estimés sous la forme de la fraction . Notez que 3,14 et sont tous deux des approximations de, et sont utilisés dans des calculs où il n’est pas important d’être précis.

Puisque vous savez que le rapport de la circonférence au diamètre (ou ) est cohérent pour tous les cercles, vous pouvez utiliser ce nombre pour trouver la circonférence d’un cercle si vous connaissez son diamètre.

= , donc C = d

Aussi, puisque d = 2r, alors C = d = (2r) = 2r.

Circonférence d’un cercle

Pour trouver la circonférence (C) d’un cercle, utilisez l’une des formules suivantes :

Si vous connaissez le diamètre (d) d’un cercle :

Si vous connaissez le rayon (r) d’un cercle :

Un cercle a un rayon de 8 pouces. Quelle est sa circonférence, arrondie au pouce le plus proche?

A) 25 pouces

B) 50 pouces

C) 64 pouces2

D) 201 pouces

est un nombre important en géométrie. Vous l’avez déjà utilisé pour calculer la circonférence d’un cercle. Vous utilisez également lorsque vous calculez l’aire d’un cercle.

Aire d’un cercle

Pour trouver l’aire (A) d’un cercle, utilisez la formule :

Un bouton a un diamètre de 20 millimètres. Quelle est l’aire du bouton ? Utilisez 3.14 comme approximation de .

A) 62,8 mm

B) 314 mm2

C) 400 mm2

D) 1256 mm2

Maintenant que vous savez comment calculer la circonférence et l’aire d’un cercle, vous pouvez utiliser ces connaissances pour trouver le périmètre et l’aire de figures composées. L’astuce pour résoudre ce type de problèmes est d’identifier les formes (et les parties de formes) dans la figure composite, de calculer leurs dimensions individuelles, puis de les additionner.

Par exemple, regardez l’image ci-dessous. Est-il possible de trouver le périmètre ?

La première étape consiste à identifier des figures plus simples dans cette figure composite. Vous pouvez la décomposer en un rectangle et un demi-cercle, comme indiqué ci-dessous.

Vous savez comment trouver le périmètre d’un rectangle, et vous savez comment trouver la circonférence d’un cercle. Ici, le périmètre des trois côtés pleins du rectangle est de 8 + 20 + 20 = 48 pieds. (Notez que seulement trois côtés du rectangle s’ajouteront au périmètre de la figure composée parce que l’autre côté n’est pas à un bord ; il est couvert par le demi-cercle !)

Pour trouver la circonférence du demi-cercle, utilisez la formule avec un diamètre de 8 pieds, puis prenez la moitié du résultat. La circonférence du demi-cercle est , soit environ 12,56 pieds, donc le périmètre total est d’environ 60,56 pieds.

Quelle est l’aire (au centième près) de la figure représentée ci-dessous ? (Les deux régions arrondies sont des demi-cercles.)

A) 16,56 po2

B) 7,14 po2

C) 4 in2

D) 3,14 in2

Les cercles sont une forme géométrique importante. La distance autour d’un cercle est appelée la circonférence, et l’espace intérieur d’un cercle est appelé l’aire. Le calcul de la circonférence et de l’aire d’un cercle nécessite un nombre appelé pi (), qui est une décimale non terminale et non répétitive. Pi est souvent approximé par les valeurs 3,14 et . Vous pouvez trouver le périmètre ou l’aire de formes composées – y compris les formes qui contiennent des sections circulaires – en appliquant les formules de circonférence et d’aire lorsque cela est approprié.