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Qu’est-ce qu’une combinaison en mathématiques?

Un arrangement d’objets dans lequel l’ordre n’est pas important est appelé une combinaison. C’est différent de la permutation où l’ordre importe. Par exemple, supposons que nous disposions les lettres A, B et C. Dans une permutation, les dispositions ABC et ACB sont différentes. Mais, dans une combinaison, les arrangements ABC et ACB sont les mêmes parce que l’ordre n’est pas important.

Qu’est-ce que la formule de combinaison ?

Le nombre de combinaisons de n choses prises r à la fois s’écrit C(n, r).

Le schéma suivant montre la formule de combinaison. Faites défiler la page pour plus d’exemples et de solutions sur la façon d’utiliser la formule de combinaison.

Si vous n’êtes pas familier avec le n ! (notation factorielle n), alors jetez un coup d’œil à la leçon de factorielle

Comment utiliser la formule de combinaison pour résoudre des problèmes de mots?

Exemple:
De combien de façons un entraîneur peut-il choisir trois nageurs parmi cinq nageurs ?

Solution:
Il y a 5 nageurs à prendre 3 à la fois.
En utilisant la formule:

L’entraîneur peut choisir les nageurs de 10 façons.

Exemple:
Six amis veulent jouer suffisamment de parties d’échecs pour être sûrs que chacun joue contre tous les autres. Combien de parties devront-ils jouer ?

Solution:
Il y a 6 joueurs à prendre 2 à la fois.
En utilisant la formule:

Ils devront jouer 15 parties.

Exemple:
Dans une loterie, chaque billet comporte 5 numéros à un chiffre de 0 à 9.
a) Vous gagnez si votre billet comporte les chiffres dans n’importe quel ordre. Quelles sont vos chances de gagner ?
b) Vous ne gagnez que si votre billet comporte les chiffres dans l’ordre requis. Quelles sont vos chances de gagner?

Solution:
Il y a 10 chiffres à prendre 5 à la fois.

a) En utilisant la formule:

Les chances de gagner sont de 1 sur 252.

b) Puisque l’ordre importe, nous devrions utiliser la permutation au lieu de la combinaison.
P(10, 5) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240

Les chances de gagner sont de 1 sur 30240.

Comment évaluer des combinaisons ainsi que résoudre des problèmes de comptage en utilisant des combinaisons?

Une combinaison est un regroupement ou un sous-ensemble d’éléments. Pour une combinaison, l’ordre n’a pas d’importance.

Combien de comités de 3 peuvent être formés à partir d’un groupe de 4 élèves ?
C’est une combinaison et peut s’écrire C(4,3) ou 4C3 ou \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\3\end{array}} \right)\).

Exemples:

1. L’équipe de football compte 20 joueurs. Il y a toujours 11 joueurs sur le terrain. Combien de groupes différents de joueurs peuvent être sur le terrain à tout moment ?
2. Une étudiante a besoin de 8 cours supplémentaires pour obtenir son diplôme. Si elle a rempli les conditions préalables pour tous les cours, de combien de façons peut-elle prendre 4 cours le semestre prochain?
3. Il y a 4 hommes et 5 femmes dans un petit bureau. Le client veut une visite de site d’un groupe de 2 hommes et 2 femmes. Combien de groupes différents peuvent être formés à partir du bureau ?

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Comment résoudre des problèmes de combinaison qui impliquent de sélectionner des groupes basés sur des critères conditionnels ?

Exemple:Un seau contient les billes suivantes : 4 rouges, 3 bleues, 4 vertes et 3 jaunes, soit 14 billes au total. Chaque bille est étiquetée avec un numéro afin de pouvoir les distinguer.

1. Combien d’ensembles/groupes de 4 billes sont possibles ?
2. Combien d’ensembles/groupes de 4 existent tels que chacun est d’une couleur différente ?
3. Combien d’ensembles de 4 existent dans lesquels au moins 2 sont rouges ?
4. Combien d’ensembles de 4 existent dans lesquels aucun n’est rouge, mais au moins un est vert ?

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Comment résoudre des problèmes de mots impliquant des permutations et des combinaisons ?

Exemples:

1. Un musée possède 7 tableaux de Picasso et veut en disposer 3 sur le même mur. Combien de façons de le faire existent-elles ?
2. Combien de façons pouvez-vous arranger les lettres du mot LOLLIPOP ?
3. Une personne jouant au poker reçoit 5 cartes. Combien de mains différentes le joueur aurait-il pu recevoir ?

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