L’intégration et la différenciation sont deux concepts très importants en calcul. Ils sont utilisés pour étudier le changement. Le calcul a une grande variété d’applications dans de nombreux domaines de la science ainsi que de l’économie. On peut également trouver le calcul dans la finance et dans l’analyse des marchés boursiers. Dans cet article, nous allons avoir quelques formules de différenciation et d’intégration avec des exemples. Apprenons ce concept intéressant!
Formule de différenciation et d’intégration
Qu’est-ce que la différenciation ?
La différenciation est la procédure algébrique de calcul des dérivées. La dérivée d’une fonction est la pente ou le gradient du graphique donné en un point donné. Le gradient d’une courbe en un point donné est la valeur de la tangente tracée à cette courbe au point donné. Pour une courbe non linéaire, le gradient de la courbe varie en différents points le long de l’axe. Il est donc difficile de calculer le gradient dans de tels cas.
Il est également défini comme le changement d’une propriété par rapport à un changement unitaire d’une autre propriété.
\(\frac{ \Delta f(x)}{\Delta x}\)
est une mesure du taux de changement de f(x), par rapport à x.
Et la valeur limite de ce rapport, lorsque \(\Delta\) x tend vers zéro,
c’est-à-dire \(\lim_{\Delta x\à 0} \frac{f(x)}{\Delta x}\)
est appelée la dérivée première de la fonction f(x).
Qu’est-ce que l’intégration ?
L’intégration est le processus permettant de calculer des intégrales définies ou indéfinies. Pour une certaine fonction f(x) et un intervalle fermé sur la ligne réelle,
l’intégrale définie,
\(\int_{a}^{b} f(x)\;dx \)
est l’aire comprise entre le graphique de la fonction, l’axe horizontal et les deux lignes verticales. Ces deux lignes seront aux extrémités d’un intervalle.
Lorsqu’un intervalle spécifique n’est pas donné, alors on parle d’intégrale indéfinie.
Nous allons calculer l’intégrale définie en utilisant des anti dérivées. Par conséquent, l’intégration est le processus inverse de la différenciation.
Souvenez-vous que la différenciation calcule la pente d’une courbe, tandis que l’intégration calcule l’aire sous la courbe, par contre, l’intégration en est le processus inverse.
Quelques formules de base de la différenciation
(1) \(\frac{d}{dx}(c)\) = 0 , c est une constante.
(2) \(\frac{d}{dx}(x)\) = 1
(3) \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
(4) \(\frac{d}{dx}(u\pm v)= \frac{d}{dx}u\pm \frac{d}{dx}v \)
(6) \(ddx(uv)=udvdx+vdudx \)
(7) \(\frac{d}{dx}{uv}=u\frac{d}{dx}v+v\frac{d}{dx}\)u c’est la règle du produit
Une formule d’intégration de base
(1) \(\int 1\ ; dx = x+c \)
(2) \(\int m \ ;dx = mx + c \)
(3) \(\int x^n dx = \frac {x^{n+1}}{ n+1} + c \)
(4) \(\int sinx \ ;dx = -cos x +c \)
(5) \(\int cos x \;dx = sin x + c \)
(6) \(\int sec^2 x \ ;dx = tan x +c \)
(7) \(\int \frac{1}{x} \;dx = ln\ ; x + c \)
(8) \(\int e^x \ ;dx = e^x + c \)
(9) \(\int a^x \;dx = \frac{a^x}{ln \;a} + c \)
Exemples résolus pour vous
Q.1: Que représente \(\frac{d}{dx} x^5\) ?
Solution : On applique la formule
\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
Ici n=5, Donc
La solution est \(5x^4 \)
.