Histoire des logarithmes
L’invention des logarithmes a été préfigurée par la comparaison des suites arithmétiques et géométriques. Dans une suite géométrique, chaque terme forme un rapport constant avec son successeur ; par exemple, …1/1 000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1 000… a un rapport commun de 10. Dans une suite arithmétique, chaque terme successif diffère d’une constante, appelée différence commune ; par exemple, …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… a une différence commune de 1. Notez qu’une suite géométrique peut être écrite en termes de son rapport commun ; pour l’exemple de suite géométrique donné ci-dessus : …10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103…. Multiplier deux nombres de la suite géométrique, disons 1/10 et 100, revient à additionner les exposants correspondants du rapport commun, -1 et 2, pour obtenir 101 = 10. Ainsi, la multiplication se transforme en addition. La comparaison originale entre les deux séries n’était toutefois pas basée sur une utilisation explicite de la notation exponentielle ; il s’agissait d’un développement ultérieur. En 1620, le premier tableau basé sur le concept de mise en relation des suites géométriques et arithmétiques a été publié à Prague par le mathématicien suisse Joost Bürgi.
Le mathématicien écossais John Napier a publié sa découverte des logarithmes en 1614. Son but était d’aider à la multiplication de quantités qui étaient alors appelées sinus. Le sinus entier était la valeur du côté d’un triangle rectangle avec une grande hypoténuse. (L’hypoténuse originale de Napier était de 107.) Sa définition était donnée en termes de taux relatifs.
Le logarithme, par conséquent, de tout sinus est un nombre exprimant très étroitement la ligne qui a augmenté également dans le temps meene tandis que la ligne du sinus entier a diminué proportionnellement dans ce sinus, les deux mouvements étant de temps égal et le début également décalé.
En collaboration avec le mathématicien anglais Henry Briggs, Napier a ajusté son logarithme dans sa forme moderne. Pour le logarithme napérien, la comparaison se ferait entre des points se déplaçant sur une ligne droite graduée, le point L (pour le logarithme) se déplaçant uniformément de moins l’infini à plus l’infini, le point X (pour le sinus) se déplaçant de zéro à l’infini à une vitesse proportionnelle à sa distance de zéro. De plus, L est égal à zéro lorsque X est égal à un et leur vitesse est égale en ce point. L’essence de la découverte de Napier est que cela constitue une généralisation de la relation entre les séries arithmétiques et géométriques ; c’est-à-dire que la multiplication et l’élévation à une puissance des valeurs du point X correspondent à l’addition et à la multiplication des valeurs du point L, respectivement. En pratique, il est commode de limiter le mouvement de L et X par la condition que L = 1 à X = 10 en plus de la condition que X = 1 à L = 0. Cette modification a produit le logarithme de Briggs, ou commun.
Napier meurt en 1617 et Briggs continue seul, publiant en 1624 une table de logarithmes calculés jusqu’à 14 décimales pour des nombres de 1 à 20 000 et de 90 000 à 100 000. En 1628, l’éditeur néerlandais Adriaan Vlacq a publié une table à 10 décimales pour les valeurs de 1 à 100 000, en ajoutant les 70 000 valeurs manquantes. Briggs et Vlacq se sont tous deux engagés à établir des tables trigonométriques logarithmiques. Ces premières tables étaient soit au centième de degré, soit à la minute d’arc. Au XVIIIe siècle, des tables ont été publiées pour des intervalles de 10 secondes, ce qui était pratique pour les tables à sept décimales. En général, des intervalles plus fins sont nécessaires pour calculer les fonctions logarithmiques de nombres plus petits – par exemple, dans le calcul des fonctions log sin x et log tan x.
La disponibilité des logarithmes a grandement influencé la forme de la trigonométrie plane et sphérique. Les procédures de la trigonométrie ont été refondues pour produire des formules dans lesquelles les opérations qui dépendent des logarithmes sont faites en une seule fois. Le recours aux tables ne comportait alors que deux étapes, l’obtention des logarithmes et, après avoir effectué les calculs avec les logarithmes, l’obtention des antilogarithmes.
Francis J. Murray.