Orbitales des électrons d’un atome d’Hélium.

Figure 1. La forme des orbites des électrons d’un atome d’Hélium dans la configuration para, qui correspond à l’état fondamental d’un atome. Les orbites de deux électrons sont représentées avec des couleurs différentes (premier électron – bleu, deuxième électron – vert). Les lignes droites issues du noyau montrent les directions des moments orbitaux et les directions des champs magnétiques induits pour chaque électron.

Abstract.

Notre analyse de l’orbite électronique d’un atome d’Hélium répète plusieurs aspects de notre analyse de l’orbite électronique d’un atome d’Hydrogène, car ce sont les mêmes types d’orbites. En tenant compte du fait que l’atome d’Hydrogène n’a qu’un seul électron, notre solution n’était pas strictement la seule solution possible pour l’orbite électronique.

Dans le cas de l’atome d’Hélium, il n’y a qu’une seule solution pour deux électrons, qui créent à la fois des moments dipolaires et quadrupolaires. Des restrictions supplémentaires peuvent être utilisées pour le contrôle du modèle, car les configurations ortho- et para- des orbites des électrons ont leurs ensembles spécifiques de niveaux d’énergie.

Nous présentons ici une solution simple ainsi qu’une image détaillée d’une orbite d’électrons dans les atomes d’Hélium. Les configurations para- et ortho- des orbites des électrons sont analysées. Nous expliquons pourquoi l’état fondamental d’un atome d’Hélium n’est pas l’état d’énergie le plus bas.

Les expressions de la mécanique quantique pour les hamiltoniens de l’Hélium et de l’Hydrogène n’incluent pas le terme de l’électrodynamique de Maxwell. Les champs magnétiques induits par les électrons en rotation sont simplement ignorés.

Nous combinons l’électrodynamique et la mécanique quantique afin de calculer les paramètres exacts des orbites.

Le principe de Pauli postule que les directions de spin des électrons sont ascendantes et descendantes. Ce principe doit être postulé en mécanique quantique, car il contredit à la fois la loi de conservation de l’énergie et aussi l’électrostatique. Nous démontrons que les directions réelles des spins sont des directions radiales vers le centre du noyau et à partir du centre du noyau. Notre modèle explique le principe de Pauli, mais ne nécessite pas de postulat.

Les moments orbitaux des électrons dans notre modèle s’alignent le long des rayons des orbites des électrons. Ils peuvent avoir des directions vers et loin du centre du noyau. Dans notre modèle, les spins des électrons sont alignés le long des champs magnétiques créés par le mouvement orbital des électrons. Les spins des électrons se comportent comme une boussole, qui s’aligne le long du champ magnétique le plus fort.

Les spectres d’énergie compliqués d’un atome d’Hélium obtiennent une explication simple en termes de deux types d’orbites et de deux ensembles de niveaux d’énergie pour l’ortho- et le para-Hélium.

Nous utilisons la mécanique quantique de la même manière que N. Bohr pour son modèle de l’atome d’hydrogène, mais nous n’utilisons pas d’opérateurs, donc nous ne sommes pas liés par les caractéristiques statistiques du principe d’incertitude.

Dans la même approche que celle que nous avons utilisée pour l’orbite de l’atome d’hydrogène, nous n’avons pas besoin d’utiliser le postulat d’orbite de la mécanique quantique, le postulat de Pauli ou tout autre postulat.

Introduction &État actuel du problème.

Les orbites de la mécanique quantique indiquent que la densité de probabilité maximale pour trouver un électron dans un atome est située à l’intérieur du proton dans un atome d’hydrogène. L’orbite de l’électron est calculée comme la convolution de la forme de l’orbitale et la forme suggérée expérimentalement des coquilles sphériques.

Pour un atome d’Hélium, cette approche ne fonctionne pas. C’est pourquoi, outre la forme circulaire de l’orbite des électrons, il n’y a pas de calcul de la forme réelle de l’orbite des électrons dans un atome d’Hélium.

Les expériences prouvent que dans le cas d’un atome d’Hélium, la différence entre l’ortho-Hélium et le para-Hélium ne se limite pas à avoir un spin opposé. Il s’agit de différentes configurations d’orbites atomiques avec différents ensembles de niveaux d’énergie. La nature de cette différence n’est pas discutée.

Dans le projet 2, nous aborderons ces problèmes et discuterons d’autres questions.

Dans la partie précédente, nous avons indiqué que pour un atome d’Hydrogène, l’approche différentielle peut produire plusieurs types de solutions. La présence d’un seul électron a rendu assez difficile le choix d’une solution correcte pour un seul moment dipolaire. La présence de deux électrons dans un atome d’Hélium crée à la fois un moment dipolaire et quadrupolaire, et limite les paramètres de chaque partie de l’orbite à un seul quart de sphère. Combiné avec le comportement noble dans les réactions chimiques, ces conditions nous donnent la possibilité de trouver une solution unique.

Directions des spins des électrons.

D’abord nous devons faire une note sur les directions des spins et sur le terme d’interaction spin-orbite.

• Les spins individuels des électrons dans un atome d’Hélium sont égaux à une moitié. Le spin total d’un atome d’Hélium dans l’état fondamental est égal à zéro. D’un point de vue mathématique, il s’agit d’une simple tâche de deux vecteurs, qui n’a qu’une seule solution en algèbre vectorielle. Les vecteurs de spin doivent être positionnés le long d’une même ligne et avoir des directions opposées. Si ces vecteurs ne sont pas alignés le long de la même ligne droite, leur somme ne sera pas égale à zéro. Ces deux vecteurs produiront le moment de rotation. Cela signifie que dans l’état fondamental d’un atome d’hélium, les vecteurs de spin des deux électrons doivent être alignés le long de la ligne qui relie leurs positions. Pour l’état singlet, les directions des spins sont opposées. Cette affirmation est strictement correcte pour les atomes de para-hélium. Pour une configuration ortho-Hélium, la situation est un peu plus compliquée et nous allons l’analyser ci-dessous.

Regardons ci-dessous les directions des spins des électrons.

Figure 2a. La somme des vecteurs de spin alignés le long d’une même ligne dans des directions opposées donne un spin total égal à zéro dans notre modèle.

Figure 2b. La somme des vecteurs haut et bas des spins des électrons n’est pas égale à zéro. La combinaison de ces spins donne lieu à un nouveau moment de rotation dans le modèle, qui utilise le principe de Pauli.

Les vecteurs du spin des électrons ont une nature magnétique. Ils se comportent comme une boussole, ce qui signifie qu’ils se disposent le long d’un champ magnétique plus fort, créé par le mouvement orbital des électrons. Cela nous amène à conclure que les vecteurs magnétiques des moments orbitaux dans notre modèle devraient également être dirigés vers le centre du noyau.

Le déplacement continu d’un électron le long de sa trajectoire induit des champs magnétiques. Dans notre modèle, quatre champs magnétiques opposés sont créés dans la longueur d’un tour d’orbite d’un électron. Ces champs sont égaux en amplitude.

Atome d’hélium.

Pour l’atome d’hélium, nous utiliserons le même modèle que celui utilisé pour l’atome d’hydrogène. La seule différence est la double charge du noyau et les deux d’électrons sur orbite.

L’énergie d’un électron en mouvement peut être exprimée à partir de la mécanique classique et quantique comme:

$\frac {m {\ } v^2}{2} = h \cdot f \cdot n$ (1).

Dans cette formule $m$ – est la masse de l’électron, $v$ – est la vitesse de l’électron, $h$ – est la constante de Planck, $f$ – est la fréquence d’une onde électronique et $n$ est un nombre entier.

L’équation (1) représente la différence entre le « rotateur rigide » de la mécanique quantique et notre modèle. Nous considérons chaque particule avec son onde individuelle, plutôt que deux ou trois particules avec une seule onde combinée. Dans notre modèle, les ondes doivent interférer entre elles, mais ne peuvent pas être simplement additionnées.

C’est pourquoi la formule (1) est écrite pour chaque électron individuel et il en est de même pour les atomes d’hydrogène ou d’hélium.

La longueur de quatre hémisphères doit être égale à :

$L = 4 {\ } \pi {\} r = n \cdot \lambda$ (2).

La fréquence de rotation orbitale de l’électron peut être trouvée comme la vitesse de l’électron divisée par la longueur de l’orbite:

$f = \frac {v}{L} = \frac {v}{4 {\ } \pi {\}r}$ (3).

Substituer la fréquence de (3) dans (1) donnera :

$\frac {m {\} v^2}{2} = h {\ } \frac {v {\ } n }{4 {\ } \pi {\ {\i1} r} = \frac {\hbar {\ } v {\ } n}{2 {\ } r} $ (4a).

Nous utilisons la constante de Planck réduite $\hbar = \frac {h}{2 \pi}$ dans l’expression (4a).

En conséquence de l’équation (4), nous avons obtenu l’expression du moment orbital de l’électron :

$m {\ } v {\ } r = \hbar \cdot n$ (4).

L’expression (4) signifie que le moment orbital de l’électron est égal au nombre entier, multiplié par la constante de Planck réduite. Cette expression est la même que celle que nous avons obtenue pour l’atome d’Hydrogène et cela signifie que nous n’avons pas besoin du postulat du moment orbital pour l’atome d’Hélium. Cette conclusion sera importante pour d’autres atomes du tableau périodique ayant des orbites électroniques de type $s$ dans leur structure.

Dans notre analyse de la forme de l’orbite électronique de l’atome d’Hydrogène, nous sommes arrivés à la conclusion qu’il n’y a pas de solution numérique pour le type d’orbite, où les vecteurs des champs magnétiques induits sont parallèles ou perpendiculaires aux axes $x, y, z$. Une telle configuration d’orbite contredirait le résultat de l’équation (4).

Solution de l’équation de Faraday

$\oint E \cdot ds = – \frac{\partial \Phi _{mag}}{\partial t}$ (5)

nous avons trouvé sous la forme de la trajectoire elliptique de l’électron, projetée sur la surface sphérique.

Figure 3. Orbite des électrons pour la configuration ortho de l’atome d’Hélium.

Figure 4. Orbite des électrons pour la configuration para de l’atome d’Hélium. L’électron vert se déplace le long de la ligne bleue. L’électron bleu se déplace le long de la ligne verte. Ceci a été fait pour un meilleur contraste. Les lignes droites montrent la direction des champs induits.

En para- configuration, la configuration des orbites ainsi que les positions des électrons à tout moment du temps présentent une symétrie sphérique de type ponctuelle. Cela signifie que la ligne droite qui relie les positions des électrons, traversera toujours le centre du noyau.

La procédure pour trouver les paramètres de la trajectoire de l’électron est la même que celle que nous avons utilisée pour l’atome d’hydrogène. Nous devons trouver les valeurs de trois paramètres, qui définissent la trajectoire elliptique des électrons dans l’atome d’Hélium et nous exprimerons ces valeurs dans les unités du rayon de l’orbite de l’électron.

Nous commençons par la configuration ortho.

Bien que les valeurs de ces paramètres, exprimées en unités de rayon soient les similaires aux expressions pour l’atome d’hydrogène, les valeurs réelles pour l’atome d’Hélium sont différentes :

$a = 0.707 \cdot r = \frac {1.414 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $, $b = 1.252 \cdot r = \frac {2.504 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $ (6).

L’énergie de l’ion Hélium, lorsqu’il ne reste qu’un seul électron sur l’orbite, est la même que celle calculée dans le modèle de Bohr :

$E_0 = \frac {m \cdot e^4}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot h^2} = 54,4 eV$ (7).

Ce résultat est bien connu et ne nécessite pas d’interprétation supplémentaire.

Dans le cas d’un atome d’Hélium avec deux électrons en orbite autour du noyau, on commence par les calculs de la longueur de l’orbite.

La longueur de l’orbite est égale à :

$L = \pi \cdot =4 \pi r$ (8).

Nous avons utilisé la formule de Ramanujan pour la longueur de l’ellipse dans nos calculs.

Ces orbites ont trois paramètres $a, b$ et $r$. Comme pour l’atome d’hydrogène, les valeurs des paramètres $a$ et $b$ peuvent être exprimées dans les unités du rayon sphérique $r$ de l’orbite comme:

$a = 0,707 \cdot r$, $b = 1,252 \cdot r$ (9).

La fonction, qui représente la trajectoire de l’électron, ainsi que la dérivée de cette fonction, sont continues et ne présentent aucune singularité.

Pour deux électrons à la surface de la sphère, il y a équilibre entre la force de Coulomb et la force centripète :

$\frac{2 {\ } e^2}{4{\ } \pi }\epsilon_0 {\ } r^2} = \frac{2 m {\ } v^2}{r} $ (10).

La vitesse de l’électron peut être exprimée à partir de (10) comme:

$v = \sqrt{ \frac {e^2}{4 } \pi {\ {\} \epsilon_0 {\ } r {\ }m} } $ (11).

La formule (8) garantit que l’expression du moment orbital est correcte:

$m \cdot v \cdot r = n \cdot \hbar$ (12).

La combinaison de (11) et (12) nous donne le rayon de la surface sphérique de l’orbite de l’électron:

$m \cdot r {\ } \sqrt{ \frac {e^2}{4 } \pi {\} \epsilon_0 {\ } r {\ }m} } = n \cdot \hbar$ (13).

$m^2 \cdot r^2 {\ } \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\} \epsilon_0 {\} r {\ }m} = n^2 \cdot \hbar^2 $ (14).

$m {\ } r {\ } e^2 $=$ 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2 $ (15).

$r = \frac {4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2}{m {\ } e^2}$ (16).

L’énergie de deux électrons sur l’orbite de l’Hélium peut être calculée comme:

$E = 2 \cdot \frac {m {\ } v^2}{2}$ (17).

La deuxième puissance de la vitesse de l’électron peut être exprimée à partir de (11) comme:

$v^2 = \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ } m} = \frac {e^2 \cdot e^2 \cdot m}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } m {\ } 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2} = \frac {e^4}{4}} {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} $ (18).

Nous avons utilisé l’expression (16) pour le rayon de l’orbite de l’électron.

D’après l’équation (17), la valeur de l’énergie des états de l’électron serait égale à :

$E = \frac {m {\ }e^4}{4 {\ } {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} = 27,2 eV $ (19).

Cette valeur correspond à l’énergie de l’état le plus bas de l’atome d’Hélium en configuration ortho. Cette quantité d’énergie est nécessaire pour qu’un électron atteigne le niveau d’ionisation. Si nous marquons l’énergie d’ionisation dans le vide comme nulle, alors cette énergie devrait être négative.

La formule (27) décrit le spectre des niveaux d’énergie de l’atome d’Hélium en configuration ortho. D’autres niveaux d’énergie de l’ortho-Hélium pour $n > 1$, ainsi que les transitions entre eux devraient être observables dans les spectres de l’Hélium, à condition de disposer d’une méthode d’excitation qui tienne compte des transitions interdites de spin entre l’état fondamental singulet du para-Hélium et les états excités triplets de l’ortho-Hélium. Dans des conditions normales avec une source d’excitation optique, le spectre des raies de l’ortho-Hélium est pratiquement invisible.

Cet état ortho- de l’atome d’Hélium ne peut pas être l’état fondamental, parce que le moment orbital et le spin de l’atome dans cet état ne sont pas égaux à zéro. Cela signifie que l’atome d’Hélium dans cet état serait très réactif et que son comportement serait similaire à celui d’un atome d’Hydrogène.

L’état fondamental du gaz inertiel monoatomique Hélium appartient au para-état de l’Hélium.

Para-Hélium.

La figure 5 ci-dessous montre la configuration para d’une orbite d’électrons d’un atome d’Hélium. Les orbites d’un électron sont représentées en bleu et d’un autre en vert. Ces orbites possèdent un point de symétrie au centre du noyau. À tout moment, deux électrons occupent des positions sur les côtés opposés du diamètre des orbites des électrons. Les directions des moments orbitaux, ainsi que les directions des champs magnétiques induits sont indiquées par quatre lignes rouges pour un électron et par quatre lignes vertes pour un autre électron. L’angle entre deux lignes de même couleur est d’environ 109,47 degrés. Les directions de deux moments et de deux champs magnétiques pour chaque électron sont vers le centre de la sphère et deux autres vecteurs ont des directions éloignées du centre des sphères.

Figure 5. Orbites des électrons d’un atome d’Hélium dans la configuration para.

La figure 5 montre les orbites des électrons dans la configuration para d’un atome d’Hélium. Les électrons verts et bleus sont situés sur les côtés opposés du diamètre de leur orbite. Leurs orbites sont symétriques par rapport à la position du proton. Les directions du champ magnétique induit sont représentées par les lignes vertes et bleues.

Pour la para-configuration d’un électron, le spin total des orbites, les moments orbitaux ainsi que les intégrales du champ électrique et du champ magnétique induit sont égaux à zéro.

En conséquence, un atome d’Hélium dans la para-configuration d’orbite occupe un état d’énergie stable et aucune interaction externe n’est nécessaire pour compenser les moments orbitaux et les champs de spin non équilibrés. C’est la raison pour laquelle les atomes d’Hélium en configuration para sont des gaz monoatomiques nobles et inertiels &.

Pour trouver la valeur de l’énergie en configuration para, il faut multiplier la valeur de l’énergie d’un électron en configuration ortho par le coefficient du vecteur stérique (voir paragraphe suivant):

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0.909 $ (20).

L’énergie de l’état fondamental d’un atome d’Hélium est égale à l’énergie de l’état le plus bas dans la configuration para:

$E_0 = 27.2 \cdot \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24,7 eV$ (21).

Ce résultat est en accord avec la valeur expérimentale de l’énergie d’ionisation du premier électron d’un atome d’Hélium, qui est égale à $E_{ionisation} = 24,6 eV$. La différence des énergies d’environ $\Delta E = 0,1 eV$ doit être attribuée à l’interaction spin-spin.

Bien qu’à l’état fondamental, un atome d’Hélium n’existe que dans la configuration para. Les états excités des deux configurations peuvent être observés dans les données spectrales, bien que les transitions entre ces deux états ne puissent pas être observées dans le cas d’une excitation optique car elles sont interdites de spin. L’excitation électronique résoudrait ce problème et il serait possible d’observer les niveaux des deux états.

Calculs du coefficient du vecteur stérique pour le para-hélium.

Dans nos calculs du moment orbital de l’électron, nous avons utilisé le principe d’indépendance des composantes orthogonales du mouvement d’un électron. Sans déclaration spéciale, nous avons supposé que les composantes qui sont orthogonales à la composante orbitale, ne donnent aucune entrée dans l’énergie totale des électrons dans un atome d’Hélium. Nous avons calculé l’énergie de deux systèmes électroniques comme si l’énergie totale était combinée comme une fonction scalaire du rayon de l’orbite et négligé le caractère vectoriel des composantes angulaires de la trajectoire d’un électron.

D’un point de vue de la Mécanique Classique, une telle approche semble justifiée, car deux électrons dans un atome d’Hélium sont positionnés aux extrémités opposées du diamètre de leurs orbites. Le même argument pourrait être dit pour la Mécanique Quantique, qui représente les électrons comme un nuage distribué, où les positions de chaque électron ne peuvent être définies ou déterminées.

Mais nos calculs sont basés sur l’Electrodynamique.

L’énergie d’un électron dans un champ électrique peut être calculée comme le potentiel du champ multiplié par la charge de l’électron :

$Energie = E \cdot e$ (22).

Cette expression décrit l’énergie potentielle. Elle deviendra l’énergie de l’électron après que celui-ci ait franchi la distance le long du champ avec un tel potentiel.

Selon la formule de Faraday, le champ magnétique induit par des charges en mouvement est égal à :

$\oint E \cdot ds = – \frac{\partial \Phi _{mag}}{\partial t}$ (23).

Cette formule de Faraday nous donne la possibilité de produire les règles d’addition des expressions vectorielles, qui sont proportionnelles aux énergies de chaque électron. Au lieu d’une intégrale tridimensionnelle d’un champ électrique, nous trouverons la somme des vecteurs des champs magnétiques induits pour le premier électron et le vecteur du champ magnétique induit pour le second électron car ces valeurs sont en proportion directe. Ensuite, nous utiliserons le coefficient stérique que nous trouvons pour les vecteurs magnétiques induits afin de combiner l’énergie des électrons.

La valeur de l’énergie pour chaque électron dans l’équation (24) est égale à la moitié de l’énergie totale, que nous avons trouvée pour la configuration ortho de l’atome d’Hélium :

$E_1 = E_2 = \frac {27.2}{2} $ (24).

L’énergie de deux systèmes électroniques sera égale à l’énergie du premier électron plus l’énergie du second électron, multipliée par le coefficient du vecteur stérique:

$Energie = E_1 +k \cdot E_2 = \frac {1}{2} \cdot (E_1+k \cdot E_2)$ (24).

Les champs magnétiques induits pour chaque électron dans un atome d’Hélium ont la géométrie du cube avec les angles de 109,47 degrés entre les directions des champs magnétiques induits. Cela signifie que chaque vecteur de champ magnétique induit peut être représenté par une ligne allant du centre du cube à un coin non adjacent du cube:

La figure 6. illustre le cas de deux électrons dont les orbites ont une symétrie ponctuelle au centre du cube.

La sphère rouge représente le noyau d’Hélium. Les lignes rouges montrent la direction du champ magnétique induit pour un électron. Les lignes vertes montrent la direction des champs magnétiques induits pour l’autre électron. Sur les quatre vecteurs pour chaque électron, deux vecteurs ont une direction vers le noyau et les deux autres vecteurs ont une direction vers le coin du cube.

Le coefficient stérique peut être calculé à partir de la figure 6. Si nous supposons que la longueur du côté du cube est de 2a unité, alors la longueur des diagonales AO et BO serait égale à :

$AO = BO = a \cdot \sqrt 3$ (26).

La demi-somme de ces deux moments ou la ligne OC a la longueur :

$OC= \frac {1}{2} (AO + BO) = a \cdot \sqrt 2$ (27).

Cela signifie que pour ajouter le vecteur momentum d’un second électron au vecteur du premier électron il faut multiplier le vecteur du second électron par le coefficient stérique:

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0.908 $ (24).

$E_{para} = \frac {1}{2} \cdot (E_1 + E_2 \cdot \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24.7 eV$ (27).

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