Définition : Un triangle est une figure fermée constituée de trois segments de droite.

Un triangle est constitué de trois segments de droite et de trois angles. Dans la figure ci-dessus, AB, BC, CA sont les trois segments de droite et ∠A, ∠B, ∠C sont les trois angles.

Il existe trois types de triangles basés sur les côtés et trois basés sur les angles.

Types de triangles basés sur les côtés

Triangle équilatéral : Un triangle dont les trois côtés sont de même longueur est un triangle équilatéral.

Puisque tous les côtés sont égaux, tous les angles le sont aussi.

Triangle isocèle : Un triangle ayant deux côtés de même longueur est un triangle isocèle.

Les deux angles opposés aux côtés égaux sont égaux.

Triangle scalène : Un triangle ayant trois côtés de longueurs différentes est appelé triangle scalène.

Types de triangles basés sur les angles

Triangle à angle aigu : Un triangle dont tous les angles sont aigus est appelé triangle à angle aigu ou triangle aigu.

Triangle à angle obtus : Un triangle dont l’un des angles est obtus est un triangle à angle obtus ou triangle obtus.

Triangle à angle droit : Un triangle dont l’un des angles est un angle droit est un triangle rectangle ou triangle droit.

Dans la figure ci-dessus, le côté opposé à l’angle droit, BC est appelé l’hypoténuse.

Pour un triangle droit ABC,

BC2 = AB2 + AC2

C’est ce qu’on appelle le théorème de Pythagore.

Dans le triangle ci-dessus, 52 = 42 + 32. Seul un triangle qui satisfait à cette condition est un triangle rectangle.

Donc, le théorème de Pythagore permet de trouver si un triangle est rectangle.

Types de triangles

Il existe différents types de triangles droits. Pour l’instant, nous ne nous intéressons qu’à une paire particulière de triangles rectangles.

1. Triangle 45-45-90
2. Triangle 30-60-90

Triangle 45-45-90:

Un triangle 45-45-90, comme son nom l’indique, est un triangle rectangle dans lequel les deux autres angles ont chacun 45°.

C’est un triangle rectangle isocèle.

Dans ∆ DEF, DE = DF et ∠D = 90°.

Les côtés d’un triangle 45-45-90 sont dans le rapport 1 : 1 : √2.
Triangle 30-60-90:

Un triangle 30-60-90, comme son nom l’indique, est un triangle rectangle dans lequel les deux autres angles sont 30° et 60°.

C’est un triangle rectangle scalène car aucun des côtés ou des angles n’est égal.

Les côtés d’un triangle 30-60-90 sont dans le rapport 1 : √3 : 2

Comme tout autre triangle rectangle, ces deux triangles satisfont au théorème de Pythagore.

Propriétés de base des triangles

• La somme des angles d’un triangle est de 180°. Cela s’appelle la propriété de la somme des angles.
• La somme des longueurs de deux côtés quelconques d’un triangle est supérieure à la longueur du troisième côté. De même, la différence entre les longueurs de deux côtés quelconques d’un triangle est inférieure à la longueur du troisième côté.
• Le côté opposé au plus grand angle est le plus long côté du triangle et le côté opposé au plus petit angle est le plus court côté du triangle.


Dans la figure ci-dessus, ∠B est le plus grand angle et le côté opposé à celui-ci (hypoténuse), est le plus grand côté du triangle.



Dans la figure ci-dessus, ∠A est le plus grand angle et le côté qui lui est opposé, BC est le plus grand côté du triangle.

• Un angle extérieur d’un triangle est égal à la somme de ses angles opposés intérieurs. On appelle cela la propriété de l’angle extérieur d’un triangle.


Ici, ∠ACD est l’angle extérieur au ∆ABC.

Selon la propriété de l’angle extérieur, ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Similarité et congruence dans les triangles

Les figures de même taille et de même forme sont des figures congruentes. Si deux formes sont congruentes, elles restent congruentes même si elles sont déplacées ou tournées. Les formes resteraient également congruentes si nous reflétons les formes en produisant des images miroir. Deux formes géométriques sont congruentes si elles se recouvrent exactement.

Les figures de même forme mais de tailles proportionnelles sont des figures semblables. Elles restent semblables même si elles sont déplacées ou tournées.

Similitude des triangles

Deux triangles sont dits semblables si les angles correspondants de deux triangles sont congruents et les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles.

On l’écrit ∆ ABC ∼ ∆ XYZ et on le dit ∆ ABC ‘est semblable à’ ∆ XYZ.

Ici, ∠A = ∠X, ∠B =∠Y et ∠C = ∠Z ET

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que deux triangles soient semblables sont les suivantes :
(1) critère de similitude côté-côté (SSS) :

Si trois côtés d’un triangle sont proportionnels aux trois côtés correspondants d’un autre triangle, alors les triangles sont dits similaires.

Ici, ∆ PQR ∼ ∆ DEF comme

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Critère de similitude Côté-Angle-Côté (SAS):

Si les deux côtés correspondants des deux triangles sont proportionnels et si un angle inclus est égal à l’angle inclus correspondant d’un autre triangle alors les triangles sont semblables.

Ici, ∆ LMN ∼ ∆ QRS dans lequel

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) Critère de similitude angle-angle-angle (AAA) :

Si les trois angles correspondants des deux triangles sont égaux alors les deux triangles sont semblables.

Ici ∆ TUV ∼ ∆ PQR comme

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q et ∠V = ∠R

Congruence des triangles

Deux triangles sont dits congruents si tous les côtés d’un triangle sont égaux aux côtés correspondants d’un autre triangle et si les angles correspondants sont égaux.

On l’écrit comme ∆ ABC ≅ ∆ XYZ et on le dit comme ∆ ABC ‘est congru à’ ∆ XYZ.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que deux triangles soient congruents sont les suivantes :
(1) Critère de congruence côté-côté (SSS) :

Si trois côtés d’un triangle sont égaux aux trois côtés correspondants d’un autre triangle alors les triangles sont dits congruents.

Ici, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ car AB = XY, BC = YZ et AC = XZ.
(2) Critère de congruence côté-angle-côte (SAS):

Si deux côtés et l’angle inclus entre les deux côtés d’un triangle sont égaux aux deux côtés correspondants et à l’angle inclus d’un autre triangle, alors les triangles sont congruents.

Ici, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ car AB = XY, ∠A = ∠X et AC = XZ.
(3) Critère de congruence angle-côté-angle (ASA) : Si deux angles et le côté inclus d’un triangle sont égaux aux deux angles et au côté inclus correspondants d’un autre triangle alors les triangles sont congruents.

Dans la figure ci-dessus, ∆ ABD ≅ ∆ CBD dans laquelle

∠ABD = ∠CBD, AB = CB et ∠ADB = ∠CDB.
(4) Critère de congruence de l’hypoténuse à angle droit : Si l’hypoténuse et un côté d’un triangle rectangle sont égaux à l’hypoténuse et au côté correspondants d’un autre triangle rectangle, alors les triangles sont congruents.

Ici, ∠B = ∠Y = 90° et AB = XY, AC = XZ.

Aire d’un triangle:

L’aire d’un triangle est donnée par la formule

Aire d’un triangle = (1/2) *Base * Hauteur

Pour trouver l’aire d’un triangle, on trace une ligne perpendiculaire de la base au sommet opposé qui donne la hauteur du triangle.

Donc l’aire du ∆ PQR = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 unités carrées.

Pour un triangle rectangle, il est facile de trouver l’aire puisqu’il y a un côté perpendiculaire à la base, on peut donc la considérer comme une hauteur.

La hauteur du ∆ XYZ est XY et son aire est (1/2) * XZ * XY unités carrées.

Maintenant, comment trouver l’aire d’un triangle obtus LMN ?

Pour un triangle obtus, on étend la base et on trace une ligne perpendiculaire du sommet à la base étendue qui devient la hauteur du triangle.

Donc, l’aire du ∆ LMN = (1/2) * LM * NK unités carrées. unités.

Résolvez les problèmes suivants

1)

∆ ABC est un triangle rectangle et CD ⊥ AB (⊥ signifie « perpendiculaire »).

Trouvez i) ∠ACD et ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35, 25

Réponse : C

Explication:

Considérer ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (puisque la somme des angles d’un triangle est de 180°)

90 + 65 + ∠ACD = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

En ∆ BCD, ∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180° (encore une fois, somme de tous les angles d’un triangle)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Déterminez si les éléments suivants sont des triangles rectangles

A. Les deux sont des triangles rectangles
B. ∆ ABC n’est pas un triangle rectangle, ∆ DEF est un triangle rectangle
C. ∆ ABC est un triangle rectangle, ∆ DEF n’est pas un triangle rectangle
D. Les deux ne sont pas des triangles rectangles

Réponse : B

Explication:

Le triplet qui satisfait le théorème de Pythagore est l’ensemble des côtés qui font un triangle rectangle.

3)

Si ∆ ABC = 3 (∆ DEF), laquelle des propositions suivantes est correcte?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° ET DE = DF = 2 et EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° ET DE = DF = 2 et EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° ET DE = DF = 2 et EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° ET DE = DF = 3 et EF = 3

Réponse : C

Explication:

AB et AC sont égaux → les angles opposés sont égaux.

Donc ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC et ∆ DEF sont semblables.