Vecteur, en mathématiques, une quantité qui a à la fois une magnitude et une direction mais pas de position. Des exemples de telles quantités sont la vitesse et l’accélération. Dans leur forme moderne, les vecteurs sont apparus à la fin du XIXe siècle lorsque Josiah Willard Gibbs et Oliver Heaviside (respectivement des États-Unis et de Grande-Bretagne) ont développé indépendamment l’analyse vectorielle pour exprimer les nouvelles lois de l’électromagnétisme découvertes par le physicien écossais James Clerk Maxwell. Depuis, les vecteurs sont devenus essentiels en physique, en mécanique, en électrotechnique et dans d’autres sciences pour décrire mathématiquement les forces.
Les vecteurs peuvent être visualisés comme des segments de ligne dirigés dont les longueurs sont leurs magnitudes. Puisque seules la magnitude et la direction d’un vecteur importent, tout segment dirigé peut être remplacé par un segment de même longueur et de même direction mais commençant à un autre point, comme l’origine d’un système de coordonnées. Les vecteurs sont généralement indiqués par une lettre en gras, comme v. La magnitude, ou longueur, d’un vecteur est indiquée par |v|, ou v, qui représente une quantité unidimensionnelle (comme un nombre ordinaire) appelée scalaire. La multiplication d’un vecteur par un scalaire change la longueur du vecteur mais pas sa direction, sauf que la multiplication par un nombre négatif inversera la direction de la flèche du vecteur. Par exemple, multiplier un vecteur par 1/2 donnera un vecteur deux fois moins long dans la même direction, tandis que multiplier un vecteur par -2 donnera un vecteur deux fois plus long mais pointé dans la direction opposée.
Deux vecteurs peuvent être ajoutés ou soustraits. Par exemple, pour ajouter ou soustraire graphiquement les vecteurs v et w (voir le schéma), déplacez chacun d’eux vers l’origine et complétez le parallélogramme formé par les deux vecteurs ; v + w est alors un vecteur diagonal du parallélogramme, et v – w est l’autre vecteur diagonal.
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Il existe deux façons différentes de multiplier deux vecteurs ensemble. Le produit en croix, ou vectoriel, donne un autre vecteur qui est noté v × w. La magnitude du produit en croix est donnée par |v × w| = vw sin θ, où θ est le plus petit angle entre les vecteurs (avec leurs « queues » placées ensemble). La direction de v × w est perpendiculaire à v et w, et sa direction peut être visualisée à l’aide de la règle de la main droite, comme le montre la figure. Le produit en croix est fréquemment utilisé pour obtenir une » normale » (une ligne perpendiculaire) à une surface en un point donné, et il intervient dans le calcul du couple et de la force magnétique sur une particule chargée en mouvement.
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L’autre façon de multiplier deux vecteurs entre eux s’appelle un produit scalaire, ou parfois un produit scalaire car il aboutit à un scalaire. Le produit scalaire est donné par v ∙ w = vw cos θ, où θ est le plus petit angle entre les vecteurs. Le produit scalaire est utilisé pour trouver l’angle entre deux vecteurs. (Notez que le produit scalaire est nul lorsque les vecteurs sont perpendiculaires.) Une application physique typique consiste à trouver le travail W effectué par une force constante F agissant sur un objet mobile d ; le travail est donné par W = Fd cos θ.