Abstract

A számfogalom úgynevezett kiterjesztéseinek megértéséhez a legegyszerűbb út az összeadással, szorzással és potenciálással ellentétes műveleteken keresztül vezet. Vizsgálódásainkat Russell egy olyan megállapításával kezdjük, amely leleplezi az alapvető hibát az ezen új “számokról” kialakult, berögzült felfogásban: “Az egyik hiba, amely késleltette a helyes definíciók felfedezését ezen a területen, az az általános elképzelés, hogy a szám minden egyes kiterjesztése speciális esetként magában foglalja az előző fajtákat. Úgy gondolták, hogy a pozitív és negatív egész számokkal foglalkozva a pozitív egész számokat az eredeti előjel nélküli egész számokkal lehet azonosítani. Ismét úgy gondolták, hogy egy olyan tört, amelynek nevezője 1, azonosítható azzal a természetes számmal, amely a számlálója. Az irracionális számokról pedig, mint például a 2 négyzetgyökéről, azt feltételezték, hogy a racionális törtek között találják meg a helyüket, mint amelyek egyeseknél nagyobbak, másoknál pedig kisebbek, így a racionális és irracionális számokat egy osztályba sorolhatjuk, amit “valós számoknak” nevezünk. És amikor a szám fogalmát tovább bővítették, hogy a “komplex” számok, azaz a – 1 négyzetgyökét tartalmazó számok is beletartozzanak, úgy gondolták, hogy a komplex számok közül a valós számok azok, amelyeknek a képzetes része (azaz az a rész, amely a – 1 négyzetgyökének többszöröse) nulla. Mindezek a feltevések tévesek voltak, és el kell vetni őket… ha helyes definíciókat akarunk adni. “1