Historia logarytmów

Wynalezienie logarytmów zostało zapowiedziane przez porównanie ciągów arytmetycznych i geometrycznych. W ciągu geometrycznym każdy człon tworzy stały stosunek ze swoim następnikiem; na przykład …1/1,000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1,000… ma wspólny stosunek 10. W ciągu arytmetycznym każdy kolejny człon różni się o stałą, zwaną wspólną różnicą, na przykład …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… ma wspólną różnicę równą 1. Zauważ, że ciąg geometryczny można zapisać w kategoriach jego wspólnego stosunku; dla przykładowego ciągu geometrycznego podanego powyżej: …10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103…. Mnożenie dwóch liczb w ciągu geometrycznym, powiedzmy 1/10 i 100, jest równoznaczne z dodaniem odpowiednich wykładników wspólnego stosunku, -1 i 2, aby otrzymać 101 = 10. W ten sposób mnożenie przekształca się w dodawanie. Pierwotne porównanie tych dwóch serii nie było jednak oparte na wyraźnym użyciu notacji wykładniczej; było to późniejsze rozwinięcie. W 1620 roku pierwsza tabela oparta na koncepcji powiązania ciągów geometrycznych i arytmetycznych została opublikowana w Pradze przez szwajcarskiego matematyka Joosta Bürgiego.

Szkocki matematyk John Napier opublikował swoje odkrycie logarytmów w 1614 roku. Jego celem była pomoc w mnożeniu wielkości, które wówczas nazywano sinusami. Sinus całkowity był wartością boku trójkąta prostokątnego o dużym przeciwprostokątnej. (Pierwotny hipotens Napiera wynosił 107.) Jego definicja została podana w kategoriach względnych prędkości.

Logarytm, zatem, dowolnego sinusa jest liczbą bardzo dokładnie wyrażającą linię, która wzrosła jednakowo w czasie meene, podczas gdy linia całego sinusa zmniejszyła się proporcjonalnie do tego sinusa, oba ruchy są równe w czasie, a początek jednakowo przesunięty.

We współpracy z angielskim matematykiem Henrym Briggsem, Napier dostosował swój logarytm do jego nowoczesnej postaci. W przypadku logarytmu Napiera porównanie dotyczy punktów poruszających się po wyskalowanej linii prostej, punkt L (dla logarytmu) poruszający się jednostajnie od minus nieskończoności do plus nieskończoności, punkt X (dla sinusa) poruszający się od zera do nieskończoności z prędkością proporcjonalną do jego odległości od zera. Co więcej, L jest zerem, gdy X jest jednością, a ich prędkości w tym punkcie są równe. Istota odkrycia Napiera polega na tym, że jest to uogólnienie zależności między szeregiem arytmetycznym i geometrycznym, tzn. mnożenie i podnoszenie do potęgi wartości punktu X odpowiada odpowiednio dodawaniu i mnożeniu wartości punktu L. W praktyce wygodnie jest ograniczyć ruch L i X przez warunek, że L = 1 przy X = 10, oprócz warunku, że X = 1 przy L = 0. Ta zmiana dała logarytm Briggsiana, czyli logarytm wspólny.

Napier zmarł w 1617 roku i Briggs kontynuował sam, publikując w 1624 roku tabelę logarytmów obliczonych z dokładnością do 14 miejsc po przecinku dla liczb od 1 do 20 000 i od 90 000 do 100 000. W 1628 roku holenderski wydawca Adriaan Vlacq opublikował 10-miejscową tabelę dla wartości od 1 do 100 000, dodając brakujące 70 000 wartości. Zarówno Briggs jak i Vlacq zaangażowali się w tworzenie logicznych tablic trygonometrycznych. Takie wczesne tablice były albo z dokładnością do jednej setnej stopnia, albo do jednej minuty łuku. W XVIII wieku opublikowano tablice dla dziesięciosekundowych interwałów, które były wygodne dla tablic siedmiomiejscowych. Ogólnie rzecz biorąc, mniejsze odstępy są wymagane przy obliczaniu funkcji logarytmicznych mniejszych liczb – na przykład przy obliczaniu funkcji log sin x i log tan x.

Dostępność logarytmów w znacznym stopniu wpłynęła na formę trygonometrii płaskiej i sferycznej. Procedury trygonometrii zostały przekształcone tak, aby otrzymać wzory, w których operacje zależne od logarytmów są wykonywane wszystkie naraz. Odwołanie się do tablic składało się wtedy tylko z dwóch kroków, uzyskania logarytmów i, po wykonaniu obliczeń z logarytmami, uzyskania antylogarytmów.

Francis J. Murray