Abstract

Najprostsza droga do zrozumienia tak zwanych rozszerzeń pojęcia liczby wiedzie przez operacje odwrotne do dodawania, mnożenia i potęgowania. Rozpocznijmy nasze dociekania od obserwacji Russella, która obnaża podstawowy błąd w zakorzenionej koncepcji tych nowych „liczb”: „Jednym z błędów, które opóźniły odkrycie poprawnych definicji w tym obszarze, jest powszechne mniemanie, że każde rozszerzenie liczby zawierało poprzednie rodzaje jako przypadki szczególne. Sądzono, że w przypadku liczb całkowitych dodatnich i ujemnych, liczby całkowite dodatnie można utożsamiać z pierwotnymi liczbami całkowitymi bez znaku. Znów pomyślano, że ułamek, którego mianownikiem jest 1, może być utożsamiony z liczbą naturalną, która jest jego licznikiem. A liczby irracjonalne, takie jak pierwiastek kwadratowy z 2, miały znaleźć swoje miejsce wśród ułamków racjonalnych, jako większe od jednych i mniejsze od innych, tak że liczby racjonalne i irracjonalne mogły być traktowane razem jako jedna klasa, zwana „liczbami rzeczywistymi”. A kiedy pojęcie liczby zostało dalej rozszerzone tak, by obejmowało liczby złożone, tzn. liczby, w których pierwiastek kwadratowy jest równy – 1, sądzono, że za liczby rzeczywiste można uznać te spośród liczb złożonych, w których część urojona (tzn. część będąca wielokrotnością pierwiastka kwadratowego z – 1) wynosi zero. Wszystkie te przypuszczenia były błędne i muszą zostać odrzucone… jeśli mają być podane poprawne definicje. „1

.