Kręgi

Cel(e) nauczania

– Zidentyfikować właściwości okręgów.

– Znaleźć obwód okręgu.

– Znaleźć pole okręgu.

– Znaleźć pole i obwód złożonych figur geometrycznych.

Kręgi są powszechnym kształtem. Widzisz je wszędzie – koła w samochodzie, Frisbees przechodzące przez powietrze, płyty kompaktowe dostarczające dane. To wszystko są okręgi.

Okrąg jest dwuwymiarową figurą tak jak wielokąty i czworokąty. Jednakże, okręgi są mierzone inaczej niż te inne kształty – trzeba nawet użyć kilku różnych terminów, aby je opisać. Spójrzmy na ten interesujący kształt.

Okrąg reprezentuje zbiór punktów, z których wszystkie są w tej samej odległości od stałego, środkowego punktu. Ten stały punkt nazywany jest środkiem. Odległość od środka okręgu do dowolnego punktu na okręgu nazywamy promieniem.

Gdy dwa promienie (liczba mnoga od radius) są połączone razem, aby utworzyć odcinek linii w poprzek okręgu, mamy średnicę. Średnica okręgu przechodzi przez środek okręgu i ma swoje punkty końcowe na samym okręgu.

Średnica dowolnego okręgu jest dwa razy dłuższa od długości jego promienia. Można ją przedstawić za pomocą wyrażenia 2r, czyli „dwa razy promień”. Jeśli więc znasz promień okręgu, możesz pomnożyć go przez 2, aby znaleźć średnicę; oznacza to również, że jeśli znasz średnicę okręgu, możesz podzielić ją przez 2, aby znaleźć promień.

Dystans wokół okręgu nazywamy obwodem. (Przypomnijmy, że odległość wokół wielokąta to obwód.)

Jedną z interesujących własności okręgów jest to, że stosunek obwodu okręgu do jego średnicy jest taki sam dla wszystkich okręgów. Bez względu na rozmiar okręgu, stosunek obwodu i średnicy będzie taki sam.

Poniżej podano kilka rzeczywistych pomiarów różnych przedmiotów. Pomiary są dokładne do najbliższego milimetra lub ćwierć cala (w zależności od używanej jednostki miary). Spójrz na stosunek obwodu do średnicy dla każdego z nich – mimo, że przedmioty są różne, stosunek dla każdego z nich jest w przybliżeniu taki sam.

Obwód i średnica są pomiarami przybliżonymi, ponieważ nie ma możliwości dokładnego zmierzenia tych wymiarów. Gdyby jednak udało się je zmierzyć dokładniej, okazałoby się, że stosunek dla każdego z podanych przedmiotów zmierzałby do 3,14. Matematyczna nazwa stosunku to pi i jest reprezentowana przez grecką literę .

jest niekończącą się, niepowtarzającą się liczbą dziesiętną, więc nie da się jej zapisać w całości. Pierwsze 10 cyfr to 3,141592653; często zaokrągla się ją do 3,14 lub szacuje jako ułamek . Zauważ, że zarówno 3,14 jak i są przybliżeniami liczby i są używane w obliczeniach, w których nie jest ważna dokładność.

Ponieważ wiesz, że stosunek obwodu do średnicy (lub ) jest stały dla wszystkich okręgów, możesz użyć tej liczby do znalezienia obwodu okręgu, jeśli znasz jego średnicę.

= , więc C = d

Ale skoro d = 2r, to C = d = (2r) = 2r.

Obwód okręgu

Aby znaleźć obwód (C) okręgu, skorzystaj z jednego z następujących wzorów:

Jeżeli znasz średnicę (d) okręgu:

Jeśli znasz promień (r) okręgu:

Krąg ma promień 8 cali. Ile wynosi jego obwód, zaokrąglony do najbliższego cala?

A) 25 cali

B) 50 cali

C) 64 cale2

D) 201 cali

jest ważną liczbą w geometrii. Używałeś jej już do obliczania obwodu koła. Używasz również wtedy, gdy obliczasz pole koła.

Powierzchnia okręgu

Aby znaleźć pole (A) okręgu, skorzystaj ze wzoru:

Guzik ma średnicę 20 milimetrów. Jakie jest pole powierzchni tego guzika? Skorzystaj z 3,14 jako przybliżenia .

A) 62,8 mm

B) 314 mm2

C) 400 mm2

D) 1256 mm2

Teraz, gdy wiesz, jak obliczyć obwód i pole koła, możesz użyć tej wiedzy, aby znaleźć obwód i pole figur złożonych. Sztuką w rozwiązywaniu tego typu problemów jest zidentyfikowanie kształtów (i części kształtów) w ramach figury złożonej, obliczenie ich indywidualnych wymiarów, a następnie dodanie ich razem.

Na przykład, spójrz na poniższy obrazek. Czy możliwe jest znalezienie obwodu?

Pierwszym krokiem jest zidentyfikowanie prostszych figur w tej złożonej figurze. Możesz rozłożyć ją na prostokąt i półkole, jak pokazano poniżej.

Wiesz jak znaleźć obwód prostokąta i wiesz jak znaleźć obwód koła. Tutaj, obwód trzech pełnych boków prostokąta wynosi 8 + 20 + 20 = 48 stóp. (Zauważ, że tylko trzy boki prostokąta dodadzą się do obwodu figury złożonej, ponieważ drugi bok nie jest na krawędzi; jest objęty półokręgiem!)

Aby znaleźć obwód półokręgu, użyj wzoru o średnicy 8 stóp, a następnie weź połowę wyniku. Obwód półkola wynosi , czyli około 12,56 stopy, więc całkowity obwód wynosi około 60,56 stopy.

Jakie jest pole (z dokładnością do setnej części) figury przedstawionej poniżej? (Oba zaokrąglone regiony są półkolami.)

A) 16,56 cala2

B) 7,14 cala2

C) 4 in2

D) 3.14 in2

Kręgi są ważnym kształtem geometrycznym. Odległość wokół okręgu nazywana jest obwodem, a przestrzeń wewnątrz okręgu nazywana jest polem. Obliczenie obwodu i pola koła wymaga liczby zwanej pi (), która jest niekończącą się, niepowtarzającą się liczbą dziesiętną. Pi jest często przybliżane przez wartości 3,14 i . Możesz znaleźć obwód lub pole powierzchni złożonych kształtów – w tym kształtów, które zawierają sekcje kołowe – stosując wzory na obwód i pole w odpowiednich przypadkach.