Definicja: Trójkąt to figura zamknięta złożona z trzech odcinków linii.

Trójkąt składa się z trzech odcinków linii i trzech kątów. Na powyższym rysunku AB, BC, CA są trzema odcinkami prostymi, a ∠A, ∠B, ∠C są trzema kątami.

Są trzy rodzaje trójkątów oparte na bokach i trzy oparte na kątach.

Typy trójkątów oparte na bokach

Trójkąt równoboczny: Trójkąt mający wszystkie trzy boki równej długości to trójkąt równoboczny.

Ponieważ wszystkie boki są równe, wszystkie kąty też są równe.

Trójkąt równoramienny: Trójkąt mający dwa boki równej długości jest trójkątem równoramiennym.

Dwa kąty przeciwległe do równych boków są równe.

Trójkąt skalenowski: Trójkąt mający trzy boki o różnych długościach nazywamy trójkątem skalennym.

Typy trójkątów ze względu na kąty

Trójkąt rozwartokątny: Trójkąt, którego wszystkie kąty są ostre nazywamy trójkątem ostrokątnym lub trójkątem ostrokątnym.

Trójkąt ostrokątny: Trójkąt, którego jeden kąt jest rozwarty to trójkąt rozwartokątny lub trójkąt obły.

Trójkąt prostokątny: Trójkąt, którego jeden kąt jest kątem prostym, jest trójkątem prostokątnym lub trójkątem prostokątnym.

Na powyższym rysunku bok przeciwległy do kąta prostego, BC, nazywany jest hipotensem.

Dla trójkąta prostokątnego ABC,

BC2 = AB2 + AC2

Twierdzenie to nazywane jest twierdzeniem pitagorejskim.

W powyższym trójkącie, 52 = 42 + 32. Tylko trójkąt, który spełnia ten warunek, jest trójkątem prostokątnym.

Twierdzenie Pitagorasa pomaga stwierdzić, czy dany trójkąt jest prostokątny.

Typy trójkątów

Istnieją różne typy trójkątów prostokątnych. Na razie skupiamy się tylko na specjalnej parze trójkątów prostokątnych.

1. Trójkąt 45-45-90
2. Trójkąt 30-60-90

Trójkąt 45-45-90:

Trójkąt 45-45-90, jak sama nazwa wskazuje, jest trójkątem prostokątnym, w którym pozostałe dwa kąty mają po 45°.

Jest to trójkąt równoramienny prosty.

W ∆ DEF, DE = DF i ∠D = 90°.

Boki w trójkącie 45-45-90 są w stosunku 1 : 1 : √2.
Trójkąt 30-60-90:

Trójkąt 30-60-90, jak sama nazwa wskazuje, jest trójkątem prostokątnym, w którym dwa pozostałe kąty mają miary 30° i 60°.

Jest to trójkąt prostokątny skalenny, gdyż żaden z boków ani kątów nie jest równy.

Boki w trójkącie 30-60-90 są w stosunku 1 : √3 : 2

Tak jak każdy inny trójkąt prosty, te dwa trójkąty spełniają Twierdzenie Pitagorejskie.

Podstawowe własności trójkątów

• Suma kątów w trójkącie wynosi 180°. To się nazywa własność sumy kątów.
• Suma długości dowolnych dwóch boków trójkąta jest większa od długości trzeciego boku. Podobnie, różnica długości dowolnych dwóch boków trójkąta jest mniejsza od długości trzeciego boku.
• Bok przeciwległy do największego kąta jest najdłuższym bokiem trójkąta, a bok przeciwległy do najmniejszego kąta jest najkrótszym bokiem trójkąta.


Na rysunku powyżej, ∠B jest największym kątem, a bok przeciwległy do niego (hipotens), jest największym bokiem trójkąta.



Na rysunku powyżej, ∠A jest największym kątem, a bok przeciwległy do niego, BC jest największym bokiem trójkąta.

• Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie jego kątów wewnętrznych przeciwległych. Nazywa się to własnością kąta zewnętrznego trójkąta.


Tutaj ∠ACD jest kątem zewnętrznym trójkąta ∆ABC.

Zgodnie z własnością kąta zewnętrznego, ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Podobieństwo i przystawanie trójkątów

Figury o tej samej wielkości i kształcie są figurami przystającymi. Jeśli dwa kształty są przystające, to pozostają przystające nawet jeśli się je przesunie lub obróci. Kształty te pozostaną przystające również wtedy, gdy odbijemy je w lustrzanych odbiciach. Dwa kształty geometryczne są przystające, jeśli pokrywają się dokładnie.

Figury o tym samym kształcie, ale o proporcjonalnych rozmiarach są figurami podobnymi. Pozostają one podobne nawet wtedy, gdy są przesuwane lub obracane.

Podobieństwo trójkątów

O dwóch trójkątach mówi się, że są podobne, jeżeli odpowiednie kąty dwóch trójkątów są przystające, a długości odpowiednich boków są proporcjonalne.

Zapisuje się to jako ∆ ABC ∼ ∆ XYZ i mówi się, że ∆ ABC 'jest podobne do’ ∆ XYZ.

Tutaj, ∠A = ∠X, ∠B =∠Y i ∠C = ∠Z AND

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

Warunki konieczne i wystarczające, aby dwa trójkąty były podobne są następujące:
(1) Kryterium podobieństwa bok – bok (SSS):

Jeżeli trzy boki trójkąta są proporcjonalne do odpowiadających im trzech boków innego trójkąta, to mówi się, że trójkąty są podobne.

Tutaj, ∆ PQR ∼ ∆ DEF jako

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Kryterium podobieństwa bok-kąt-bok (SAS):

Jeśli odpowiadające sobie dwa boki dwóch trójkątów są proporcjonalne i jeden kąt zawarty jest równy odpowiadającemu mu kątowi zawartemu w innym trójkącie, to trójkąty są podobne.

Tutaj ∆ LMN ∼ ∆ QRS, w którym

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) Kryterium podobieństwa kątów (AAA):

Jeżeli trzy odpowiadające sobie kąty dwóch trójkątów są równe to dwa trójkąty są podobne.

Tutaj ∆ TUV ∼ ∆ PQR jako

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q i ∠V = ∠R

Zgodność trójkątów

Mówi się, że dwa trójkąty są przystające, jeśli wszystkie boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta i odpowiednie kąty są równe.

Zapisuje się to jako ∆ ABC ≅ ∆ XYZ i mówi się, że ∆ ABC „jest przystające do” ∆ XYZ.

Warunki konieczne i wystarczające, aby dwa trójkąty były przystające są następujące:
(1) Kryterium bok-bok-bok (SSS) dla przystawania:

Jeśli trzy boki trójkąta są równe odpowiadającym im trzem bokom innego trójkąta, to mówi się, że trójkąty są przystające.

Tutaj, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ jako AB = XY, BC = YZ i AC = XZ.
(2) Kryterium bok-kąt-bok (SAS) dla przystawania:

Jeśli dwa boki i kąt zawarty między dwoma bokami trójkąta są równe odpowiadającym im dwóm bokom i kątowi zawartemu w innym trójkącie, to trójkąty są przystające.

Tutaj, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ ponieważ AB = XY, ∠A = ∠X i AC = XZ.
(3) Kryterium kąta-boku-kąta (ASA) dla przystawania: Jeżeli dwa kąty i zawarty bok trójkąta są równe odpowiadającym im dwóm kątom i zawartemu bokowi innego trójkąta to trójkąty są przystające.

Na rysunku powyżej, ∆ ABD ≅ ∆ CBD w którym

∠ABD = ∠CBD, AB = CB i ∠ADB = ∠CDB.
(4) Kryterium przystawania hipotensji kąta prostego: Jeżeli przeciwprostokątna i jeden bok trójkąta prostokątnego są równe odpowiadającym im przeciwprostokątnym i bokom innego trójkąta prostokątnego, to trójkąty te są przystające.

Tutaj ∠B = ∠Y = 90° oraz AB = XY, AC = XZ.

Powierzchnia trójkąta:

Powierzchnia trójkąta jest dana wzorem

Powierzchnia trójkąta = (1/2) * podstawa * wysokość

Aby znaleźć pole trójkąta, rysujemy prostą prostopadłą od podstawy do przeciwległego wierzchołka, który daje wysokość trójkąta.

Więc pole trójkąta ∆ PQR = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 jednostek kwadratowych.

W przypadku trójkąta prostokątnego łatwo jest znaleźć pole, ponieważ istnieje bok prostopadły do podstawy, więc możemy go traktować jako wysokość.

Wysokość ∆ XYZ wynosi XY, a jej pole to (1/2) * XZ * XY jednostek kwadratowych.

Jak teraz znajdziemy pole trójkąta rozwartokątnego LMN ?

Dla trójkąta rozwartokątnego przedłużamy podstawę i rysujemy linię prostopadłą od wierzchołka do przedłużonej podstawy, która staje się wysokością trójkąta.

Stąd pole trójkąta ∆ LMN = (1/2) * LM * NK sq. jednostek.

Rozwiąż następujące zadania

1)

∆ ABC jest trójkątem prostokątnym i CD ⊥ AB (⊥ oznacza 'prostopadłą’).

Znajdź i) ∠ACD oraz ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35, 25

Odpowiedź: C

Wyjaśnienie:

Zastanów się ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180°)

90 + 65 + ∠ACD = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

W ∆ BCD, ∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180° (ponownie, suma wszystkich kątów w trójkącie)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Określ, czy poniższe trójkąty są trójkątami prostokątnymi

A. Oba są trójkątami prostokątnymi
B. ∆ ABC nie jest trójkątem prostokątnym, ∆ DEF jest trójkątem prostokątnym
C. ∆ ABC jest trójkątem prostokątnym, ∆ DEF nie jest trójkątem prostokątnym
D. Oba nie są trójkątami prostokątnymi

Podpowiedź: B

Wyjaśnienie:

Trójkątem spełniającym twierdzenie pitagorejskie jest zbiór boków, które tworzą trójkąt prosty.

3)

Jeśli ∆ ABC = 3 (∆ DEF), to które z poniższych twierdzeń jest poprawne?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° ORAZ DE = DF = 2 i EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° AND DE = DF = 2 and EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° AND DE = DF = 2 and EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° AND DE = DF = 3 and EF = 3

Answer: C

Wyjaśnienie:

AB i AC są równe → kąty przeciwległe są równe.

Więc ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC i ∆ DEF są podobne.

.