Elektronok pályái a héliumatomban.

1. ábra. Egy héliumatom elektronpályáinak alakja a para-konfigurációban, amely megfelel az atom alapállapotának. Két elektron pályáját különböző színekkel ábrázoljuk (első elektron – kék, második elektron – zöld). Az atommagból kiinduló egyenesek az egyes elektronok pályamomentumainak irányait és az indukált mágneses terek irányait mutatják.

Abstract.

A héliumatom elektronpályájának elemzése több szempontból megismétli a hidrogénatom elektronpályájának elemzését, mivel ezek azonos típusú pályák. Figyelembe véve, hogy a hidrogénatomnak csak egy elektronja van, a mi megoldásunk nem volt szigorúan az egyetlen lehetséges megoldás az elektronpályára.

A héliumatom esetében csak egy megoldás létezik két elektronra, amelyek dipól- és kvadrupolmomentumot is létrehoznak. További megszorításokat lehet alkalmazni a modell ellenőrzésére, mert az elektronpályák orto- és para-konfigurációjának sajátos energiaszint-készletei vannak.

Ezekben az alábbiakban egy egyszerű megoldást, valamint egy héliumatomban lévő elektronpálya részletes képét mutatjuk be. Az elektronpályák para- és orto-konfigurációit egyaránt elemezzük. Megmagyarázzuk, hogy a héliumatom alapállapota miért nem a legalacsonyabb energiaállapot.

A hélium és a hidrogén hámtoniánjainak kvantummechanikai kifejezései nem tartalmazzák a Maxwell-féle elektrodinamika kifejezését. A forgó elektronok által indukált mágneses tereket egyszerűen figyelmen kívül hagyják.

A pályák pontos paramétereinek kiszámításához kombináljuk az elektrodinamikát és a kvantummechanikát.

A Pauli-elv az elektronok spinirányát felfelé és lefelé posztulálja. Ezt az Elvet azért kell a Kvantummechanikában posztulálni, mert ellentmond az energiamegmaradás törvényének és az elektrosztatikának is. Bemutatjuk, hogy a spinek tényleges irányai sugárirányúak az atommag középpontja felé és az atommag középpontjától távolodó irányok. Modellünk megmagyarázza a Pauli-elvet, de nincs szükség posztulátumra.

Modellünkben az elektronok orbitális nyomatékai az elektronpályák sugarai mentén igazodnak. Az atommag középpontja felé és attól távolodó irányuk lehet. Modellünkben az elektronok spinjei az elektronok pályamozgása által létrehozott mágneses mezők mentén igazodnak. Az elektronspinek egy iránytűhöz hasonlóan viselkednek, amely az erősebb mágneses tér mentén igazodik.

A héliumatom bonyolult energiaspektruma egyszerű magyarázatot kap az orto- és para-hélium kétféle pályája és kétféle energiaszintje révén.

A Kvantummechanikát ugyanúgy használjuk, mint N. Bohr a hidrogénatom modelljét, de nem használunk operátorokat, így nem kötnek bennünket a Bizonytalansági elv statisztikai jellemzői.

Azzal a megközelítéssel, amit a hidrogénatom pályájához használtunk, nem kell használnunk a kvantummechanikai pályaposztulátumot, a Pauli-posztulátumot vagy más posztulátumokat.

Előszó & a probléma jelenlegi állása.

A kvantummechanikai pályák azt mutatják, hogy a maximális valószínűségi sűrűség egy elektron megtalálására egy atomban a hidrogénatomban a proton belsejében található. Az elektronpályát a pálya alakjának és a kísérletileg javasolt gömbhéj alakjának konvolúciójaként számítják.

Egy héliumatom esetében ez a megközelítés nem működik. Ezért az elektronpálya kör alakja mellett nem számítják ki az elektronok pályájának tényleges alakját egy héliumatomban.

Kísérletek bizonyítják, hogy egy héliumatom esetében az orto-hélium és a para-hélium közötti különbség nem korlátozódik arra, hogy ellentétes spinjük van. Hanem különböző atomi pályakonfigurációkról van szó, amelyekhez különböző energiaszintek tartoznak. Ennek a különbségnek a természetét nem tárgyaljuk.

A 2. projektben ezekkel a problémákkal foglalkozunk, és további kérdéseket tárgyalunk.

Az előző részben jeleztük, hogy egy hidrogénatom esetében a differenciális megközelítés többféle megoldást eredményezhet. Az egyetlen elektron jelenléte meglehetősen megnehezítette az egyetlen dipólusmomentumra vonatkozó helyes megoldás kiválasztását. A héliumatomban lévő két elektron egy dipólus és egy négypólusmomentumot is létrehoz, valamint a pálya minden részének paramétereit egyetlen gömbnegyedre korlátozza. A kémiai reakciókban való nemes viselkedéssel kombinálva ezek a feltételek lehetőséget adnak arra, hogy egyetlen megoldást találjunk.

Elektronok spinek irányai.

Először a spinek irányairól és a spin-orbitális kölcsönhatás kifejezéséről kell megjegyzést tennünk.

• Egy héliumatomban az elektronok egyedi spinek fele-fele arányúak. Az alapállapotban lévő héliumatom összes spinje nulla. Matematikai szempontból ez egy egyszerű két vektoros feladat, amelynek a vektoralgebrában csak egy megoldása van. A spin vektoroknak ugyanazon a vonalon kell elhelyezkedniük, és ellentétes irányúaknak kell lenniük. Ha ezek a vektorok nem ugyanazon egyenes mentén helyezkednek el, akkor összegük nem lesz egyenlő nullával. Ez a két vektor fogja előállítani a forgómomentumot. Ez azt jelenti, hogy a héliumatom alapállapotában mindkét elektron spinvektorának a helyzetüket összekötő egyenes mentén kell elhelyezkednie. Szingulett állapot esetén a spinek irányai ellentétesek. Ez az állítás szigorúan igaz a para-hélium atomokra. Az orto-hélium konfiguráció esetében a helyzet egy kicsit bonyolultabb, és ezt az alábbiakban elemezni fogjuk.

Nézzük meg az alábbiakban az elektronok spinjeinek irányait.

2a. ábra. Az azonos vonal mentén ellentétes irányba igazított spinvektorok összege a mi modellünkben nullával egyenlő összspint eredményez.

2b. ábra. Az elektronok spinek felfelé és lefelé irányuló vektorainak összege nem egyenlő nullával. E spinek kombinációja új forgómomentumot eredményez a Pauli-elvet alkalmazó modellben.

Az elektronok spinvektorai mágneses természetűek. Hasonlóan viselkednek, mint egy iránytű, ami azt jelenti, hogy egy erősebb mágneses tér mentén rendeződnek el, amelyet az elektronok pályamozgása hoz létre. Ez arra enged következtetni, hogy modellünkben a pályamomentumok mágneses vektorainak is az atommag középpontja felé kell irányulniuk.

Az elektron folyamatos mozgása a pályája mentén mágneses tereket indukál. Modellünkben egy elektronpálya egy körének hossza alatt négy ellentétes irányú mágneses mező jön létre. Ezek a mezők amplitúdója egyenlő.

Héliumatom.

A héliumatomra ugyanazt a modellt fogjuk használni, mint amit a hidrogénatomra használtunk. Az egyetlen különbség az atommag kettős töltése és a pályán keringő elektronok kettőse.

A mozgó elektron energiája a klasszikus és a kvantummechanika alapján a következőképpen fejezhető ki:

$\frac {m {\ } v^2}{2} = h \cdot f \cdot n$ (1).

Ebben a képletben $m$ – az elektron tömege, $v$ – az elektron sebessége, $h$ – a Planck-állandó, $f$ – az elektronhullám frekvenciája és $n$ egész szám.

A (1) egyenlet jelenti a különbséget a Kvantummechanika “merev forgója” és a mi modellünk között. Mi minden egyes részecskét a maga önálló hullámával tekintünk, nem pedig két vagy három részecskét egyetlen kombinált hullámmal. A mi modellünkben a hullámoknak interferálniuk kell egymás között, de nem lehet egyszerűen összeadni őket.

Ezért az (1) képletet minden egyes elektronra írjuk, és ugyanez vonatkozik a hidrogén- vagy héliumatomokra is.

A négy félgömb hosszának egyenlőnek kell lennie:

$L = 4 {\ } \pi {\ } r = n \cdot \lambda$ (2).

Az elektronpálya forgási frekvenciája az elektron sebességének és a pálya hosszának hányadosaként határozható meg:

$f = \frac {v}{L} = \frac {v}{4 {\ } \pi {\ }r}$ (3).

A frekvenciát a (3)-ból az (1)-be behelyettesítve az alábbi eredményt kapjuk:

$\frac {m {\ } v^2}{2} = h {\ } \frac {v {\ } n }{4 {\ } \pi {\ } r} = \frac {\hbar {\ } v {\ } n}{2 {\ } r} $ (4a).

A (4a) kifejezésben a redukált Planck-állandót $\hbar = \frac {h}{2 \pi}$ használjuk.

A (4) egyenletből adódóan megkaptuk az elektron pályamomentumára vonatkozó kifejezést:

$m {\ } v {\ } r = \hbar \cdot n$ (4).

A (4) kifejezés azt jelenti, hogy az elektron pályamomentuma egyenlő a redukált Planck-állandóval szorzott egész számmal. Ez a kifejezés megegyezik azzal, amit a hidrogénatomra kaptunk, és ez azt jelenti, hogy a héliumatomra nincs szükségünk a pályamomentum-tételre. Ez a következtetés fontos lesz a periódusos rendszer más atomjaira is, amelyek szerkezetében $s$ típusú elektronpályák vannak.

A hidrogénatom elektronpályájának alakját elemezve arra a következtetésre jutottunk, hogy nincs numerikus megoldás arra a pályatípusra, ahol az indukált mágneses terek vektorai párhuzamosak vagy merőlegesek a $x, y, z$ tengelyekre. Egy ilyen pályakonfiguráció ellentmondana a (4) egyenlet eredményének.

A Faraday-egyenlet megoldását

$\oint E \cdot ds = – \frac{\parciális \Phi _{mag}}{\parciális t}$ (5)

a gömbfelületre vetített elliptikus elektronpálya formájában találtuk meg.

3. ábra. Elektronok pályája a héliumatom orto-konfigurációjához.

4. ábra. Elektronok pályája a héliumatom para-konfigurációjához. A zöld elektron a kék vonal mentén mozog. A kék elektron a zöld vonal mentén mozog. Ezt a jobb kontraszt érdekében tettük. Az egyenes vonalak az indukált mezők irányát mutatják.

A para-konfigurációban a pályák konfigurációja, valamint az elektronok helyzete bármely időpontban pontszerű gömbszimmetriát mutat. Ez azt jelenti, hogy az egyenes, amely az elektronok pozícióit összeköti, mindig keresztezi az atommag középpontját.

Az elektronpálya paramétereinek megtalálására ugyanaz az eljárás, mint amit a hidrogénatomnál alkalmaztunk. Meg kell találnunk három paraméter értékét, amelyek meghatározzák az elektronok elliptikus pályáját a héliumatomban, és ezeket az értékeket az elektronpálya sugarának mértékegységében fogjuk kifejezni.

Az orto-konfigurációval kezdjük.

Bár ezeknek a paramétereknek az értékei a sugár egységében kifejezve hasonlóak a hidrogénatomra vonatkozó kifejezésekhez, a héliumatomra vonatkozó tényleges értékek eltérnek:

$a = 0.707 \cdot r = \frac {1.414 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $, $b = 1.252 \cdot r = \frac {2.504 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $ (6).

A héliumion energiája, amikor csak egy elektron marad a pályán, megegyezik azzal, amit a Bohr-féle modellben számítottak:

$E_0 = \frac {m \cdot e^4}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot h^2} = 54,4 eV$ (7).

Ez az eredmény jól ismert és nem igényel további értelmezést.

Egy héliumatom esetében, ahol két elektron kering az atommag körül, a pályahossz számításával kezdjük.

A pálya hossza egyenlő:

$L = \pi \cdot =4 \pi r$ (8).

Az ellipszis hosszára vonatkozó Ramanujan-formulát használtuk számításainkban.

A pályák három paramétere $a, b$ és $r$. A hidrogénatomhoz hasonlóan az $a$ és $b$ paraméterek értékei a pálya $r$ gömbsugarának mértékegységében a következőképpen fejezhetők ki:

$a = 0,707 \cdot r$, $b = 1,252 \cdot r$ (9).

Az elektron pályáját reprezentáló függvény, valamint e függvény deriváltja folytonos, és nincs szingularitása.

A gömb felületén két elektron esetében a Coulomb-erő és a centripetális erő között egyensúly van:

$\frac{2 {\ } e^2}{4{\ } \pi {\}\epsilon_0 {\ } r^2} = \frac{2 m {\ } v^2}{r} $ (10).

Az elektron sebessége a (10)-ből kifejezhető:

$v = \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} } $ (11).

A (8. képlet garantálja, hogy a pályamomentumra vonatkozó kifejezés helyes:

$m \cdot v \cdot r = n \cdot \hbar$ (12).

A (11) és (12) kombinálásával megkapjuk az elektronpálya gömbfelületének sugarát:

$m \cdot r {\ } \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} } = n \cdot \hbar$ (13).

$m^2 \cdot r^2 {\ } \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} = n^2 \cdot \hbar^2 $ (14).

$m {\ } r {\ } e^2 $=$ 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2 $ (15).

$r = \frac {4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2}{m {\ } e^2}$ (16).

A hélium pályán lévő két elektron energiája a következőképpen számítható ki:

$E = 2 \cdot \frac {m {\ } v^2}{2}$ (17) (17).

Az elektron sebességének második hatványa a (11)-ből a következőképpen fejezhető ki:

$v^2 = \frac {e^2}{4 {\ }{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ } m} = \frac {e^2 \cdot e^2 \cdot m}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } m {\ } 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2} = \frac {e^4}{4 {\ } {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} $ (18).

Az elektronpálya sugarára a (16) kifejezést használtuk.

A (17) egyenletből az elektronállapotok energiájának értéke egyenlő lenne:

$E = \frac {m {\ }e^4}{4 {\} {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} = 27,2 eV $ (19).

Ez az érték a héliumatom legalacsonyabb állapotának energiája az orto-konfigurációban. Ez az energiamennyiség szükséges ahhoz, hogy egy elektron elérje az ionizációs szintet. Ha a vákuumban az ionizációs energiát nullának jelöljük, akkor ennek az energiának negatívnak kell lennie.

A (27) képlet a héliumatom energiaszintjeinek spektrumát írja le orto-konfigurációban. Az orto-hélium egyéb energiaszintjeinek $n > 1$ esetén, valamint a köztük lévő átmeneteknek megfigyelhetőnek kell lenniük a hélium spektrumában, feltéve, hogy a gerjesztési módszer figyelembe veszi a spin tiltott átmeneteket a szingulett para-hélium alapállapot és a triplett orto-hélium gerjesztett állapotok között. Normál körülmények között, optikai gerjesztő forrás mellett az orto-Hélium vonalak spektruma gyakorlatilag láthatatlan.

A héliumatomnak ez az orto-állapota nem lehet alapállapot, mert ebben az állapotban az atom orbitális nyomatéka és spinje sem egyenlő nullával. Ez azt jelenti, hogy a héliumatom ebben az állapotban erősen reaktív lenne, és viselkedése hasonló lenne a hidrogénatom viselkedéséhez.

A Hélium egyatomos inerciális gáz alapállapota a Hélium para-állapotához tartozik.

Para-Hélium.

A lenti 5. ábra a Hélium atom elektronpályájának para-konfigurációját mutatja. Az egyik elektron pályája kékkel, a másik zölddel van jelölve. Ezek a pályák egy szimmetriaponttal rendelkeznek az atommag középpontjában. Mindig két elektron foglal helyet az elektronpályák átmérőjének ellentétes oldalán. A pályamomentumok irányait, valamint az indukált mágneses terek irányait az egyik elektron esetében négy piros, a másik elektron esetében négy zöld vonal jelzi. Két azonos színű vonal közötti szög körülbelül 109,47 fok. Az egyes elektronok két momentumának és két mágneses mezőjének iránya a gömb középpontja felé mutat, két másik vektor iránya pedig a gömb középpontjától távolodik.

5. ábra. Egy héliumatom elektronpályái a para-konfigurációban.

Az 5. ábra egy héliumatom para-konfigurációban lévő elektronjainak pályáit mutatja. A zöld és kék elektronok a pályájuk átmérőjének ellentétes oldalán helyezkednek el. Pályáik a proton helyzetéhez képest szimmetrikusak. Az indukált mágneses tér irányait a zöld és kék vonalak mutatják.

A para-konfigurációban az elektronpályák teljes spinje, a pályamomentumok, valamint az elektromos és az indukált mágneses tér integráljai egyenlőek nullával.

Ennek eredményeként a héliumatom a para-konfigurációban lévő pályán stabil energiaállapotot foglal el, és nincs szükség külső kölcsönhatásra a nem kiegyensúlyozott pályamomentumok és spinmezők kompenzálásához. Ez az oka annak, hogy a para-konfigurációban lévő héliumatomok nemes, inerciális & egyatomos gázok.

A para-konfigurációban lévő energia értékének megtalálásához meg kell szoroznunk az orto-konfigurációban lévő elektron energiájának értékét a sztérikus vektor együtthatóval (lásd a következő bekezdést):

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0.909 $ (20).

A héliumatom alapállapotának energiája egyenlő a para-konfiguráció legalacsonyabb állapotának energiájával:

$E_0 = 27.2 \cdot \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24,7 eV$ (21).

Ez az eredmény megegyezik a héliumatom első elektronja ionizációs energiájának kísérleti értékével, amely egyenlő $E_{ionizációs} = 24,6 eV$. Az energiák mintegy $\Delta E = 0,1 eV$ nagyságú különbsége a spin-spin kölcsönhatásnak tulajdonítható.

A hélium atom alapállapotban ugyan, de csak a para-konfigurációban létezik. Mindkét konfiguráció gerjesztett állapota megfigyelhető a spektrális adatokban, bár optikai gerjesztés esetén a két állapot közötti átmeneteket nem lehet megfigyelni, mert azok spin-tiltottak. Az elektrongerjesztés megoldaná ezt a problémát, és mindkét állapot szintjei megfigyelhetők lennének.

A para-hélium sztérikus vektor együtthatójának számításai.

Az elektronpályamomentum számításaiban az elektronmozgás ortogonális komponenseinek függetlenségének elvét használtuk. Különösebb kijelentés nélkül feltételeztük, hogy a pályakomponenssel ortogonális komponensek nem járulnak hozzá a héliumatomban lévő elektronok összes energiájához. Két elektronrendszer energiáját úgy számoltuk ki, mintha a teljes energiát a pályasugár skaláris függvényeként kombinálnánk, és elhanyagoltuk az elektronpálya szögkomponenseinek vektorjellegét.

A klasszikus mechanika szempontjából ez a megközelítés indokoltnak tűnik, mivel a héliumatomban két elektron a pályájuk átmérőjének ellentétes végpontjain helyezkedik el. Ugyanez az érv elmondható a Kvantummechanika esetében is, amely az elektronokat eloszló felhőként ábrázolja, ahol az egyes elektronok helyzete nem definiálható vagy meghatározható.

De a mi számításaink az Elektrodinamikán alapulnak.

Elektromos térben az elektron energiája kiszámítható a térpotenciál és az elektron töltésének szorzataként:

$Energia = E \cdot e$ (22).

Ez a kifejezés a potenciális energiát írja le. Ez lesz az elektron energiája, miután az elektron az ilyen potenciállal rendelkező mező mentén megteszi a távolságot.

A Faraday-képlet szerint a mozgó töltések által indukált mágneses tér egyenlő:

$\oint E \cdot ds = – \frac{\parciális \Phi _{mag}}{\parciális t}$ (23).

Ez a Faraday-képlet lehetőséget ad arra, hogy az egyes elektronok energiáival arányos vektoros kifejezések összeadási szabályait előállítsuk. Az elektromos tér háromdimenziós integrálja helyett az első elektron indukált mágneses mezeje vektorainak összegét és a második elektron indukált mágneses mezejének vektorát fogjuk megtalálni, mert ezek az értékek egyenesen arányosak. Ezután az indukált mágneses vektorokra talált sztérikus együtthatót fogjuk használni az elektronok energiájának összegzéséhez.

A (24) egyenletben az egyes elektronok energiájának értéke a teljes energia felével egyenlő, amit a héliumatom orto-konfigurációjára találtunk:

$E_1 = E_2 = \frac {27.2}{2} $ (24).

Két elektronrendszer energiája egyenlő lesz az első elektron energiája plusz a második elektron energiája, szorozva a sztérikus vektor együtthatóval:

$Energia = E_1 +k \cdot E_2 = \frac {1}{2} \cdot (E_1+k \cdot E_2)$ (24).

A héliumatomban lévő egyes elektronok indukált mágneses mezőinek geometriája a kocka, az indukált mágneses mezők irányai közötti 109,47 fokos szögekkel. Ez azt jelenti, hogy az indukált mágneses mező minden egyes vektora ábrázolható a kocka középpontjától a kocka egy nem szomszédos sarkáig tartó egyenessel:

A 6. ábra két olyan elektron esetét szemlélteti, amelyek pályája a kocka középpontjában pontszimmetrikus.

A piros gömb a héliummagot ábrázolja. A piros vonalak az egyik elektron indukált mágneses terének irányát mutatják. A zöld vonalak a másik elektron indukált mágneses terének irányát mutatják. Az egyes elektronok négy vektorából két vektornak az atommag felé, a másik két vektornak pedig a kocka sarka felé van az iránya.

A 6. ábráról kiszámítható a sztérikus együttható. Ha feltételezzük, hogy a kocka oldalának hossza 2a egység, akkor az AO és BO átlósok hossza:

$AO = BO = a \cdot \sqrt 3$ (26).

A két momentum fele összege vagy az OC egyenes hossza:

$OC= \frac {1}{2} (AO + BO) = a \cdot \sqrt 2$ (27).

Ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy a második elektron vektorimpulzusát hozzáadjuk az első elektron vektorához, a második elektron vektorát meg kell szorozni a sztérikus együtthatóval:

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0,908 $ (24).

$E_{para} = \frac {1}{2} \cdot (E_1 + E_2 \cdot \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24.7 eV$ (27).

*************************

.