Cirklar

Lärandemål

– Identifiera egenskaper hos cirklar.

– Hitta en cirkels omkrets.

– Hitta arean av en cirkel.

– Hitta arean och omkretsen av sammansatta geometriska figurer.

Cirklar är en vanlig form. Du ser dem överallt – hjul på en bil, frisbees som passerar genom luften, cd-skivor som levererar data. Alla dessa är cirklar.

En cirkel är en tvådimensionell figur precis som polygoner och fyrhörningar. Cirklar mäts dock annorlunda än dessa andra figurer – du måste till och med använda några olika termer för att beskriva dem. Låt oss ta en titt på denna intressanta form.

En cirkel representerar en uppsättning punkter som alla befinner sig på samma avstånd från en fast mittpunkt. Denna fasta punkt kallas för centrum. Avståndet från cirkelns centrum till varje punkt på cirkeln kallas radie.

När två radier (plural av radie) sätts ihop för att bilda ett linjesträck över cirkeln har man en diameter. En cirkels diameter går genom cirkelns centrum och har sina ändpunkter på själva cirkeln.

Diametern på en cirkel är två gånger längden på cirkelns radie. Den kan representeras av uttrycket 2r, eller ”två gånger radien”. Så om du känner till en cirkels radie kan du multiplicera den med 2 för att hitta diametern; det betyder också att om du känner till en cirkels diameter kan du dividera med 2 för att hitta radien.

Avståndet runt en cirkel kallas omkrets. (Kom ihåg att avståndet runt en polygon är omkretsen.)

En intressant egenskap hos cirklar är att förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter är detsamma för alla cirklar. Oavsett cirkelns storlek kommer förhållandet mellan omkrets och diameter att vara detsamma.

Nedan följer några faktiska mått på olika föremål. Måtten är exakta till närmaste millimeter eller kvarts tum (beroende på vilken måttenhet som används). Titta på förhållandet mellan omkrets och diameter för varje föremål – även om föremålen är olika är förhållandet för varje föremål ungefär detsamma.

Omkretsen och diametern är ungefärliga mått eftersom det inte finns något exakt sätt att mäta dessa mått exakt. Om du kunde mäta dem mer exakt skulle du dock se att förhållandet skulle närma sig 3,14 för vart och ett av de angivna föremålen. Det matematiska namnet för förhållandet är pi och representeras av den grekiska bokstaven .

är en icke-avslutande, icke-repetitiv decimal, så det är omöjligt att skriva ut den fullständigt. De första 10 siffrorna i är 3,141592653; det avrundas ofta till 3,14 eller uppskattas som bråket . Observera att både 3,14 och är approximationer av och används i beräkningar där det inte är viktigt att vara exakt.

Då du vet att förhållandet mellan omkrets och diameter (eller ) är konstant för alla cirklar, kan du använda detta tal för att hitta omkretsen på en cirkel om du känner till dess diameter.

= , så C = d

Och eftersom d = 2r så är C = d = (2r) = 2r.

Cirkelns omkrets

För att hitta cirkelns omkrets (C) använder du en av följande formler:

Om du vet cirkelns diameter (d):

Om du vet cirkelns radie (r):

Om du vet cirkelns radie (r):

En cirkel har en radie på 8 tum. Vad är dess omkrets, avrundat till närmaste tum?

A) 25 tum

B) 50 tum

C) 64 tum2

D) 201 tum

är ett viktigt tal inom geometrin. Du har redan använt det för att beräkna en cirkels omkrets. Du använder också när du räknar ut arean av en cirkel.

Area av en cirkel

För att hitta arean (A) av en cirkel använder du formeln:

En knapp har en diameter på 20 millimeter. Vad är knappens area? Använd 3,14 som en approximation av .

A) 62,8 mm

B) 314 mm2

C) 400 mm2

D) 1256 mm2

Nu när du vet hur man beräknar en cirkels omkrets och area kan du använda denna kunskap för att hitta omkretsen och arean av sammansatta figurer. Tricket för att lösa den här typen av problem är att identifiera former (och delar av former) inom den sammansatta figuren, beräkna deras enskilda dimensioner och sedan lägga ihop dem.

Klipp till exempel på bilden nedan. Är det möjligt att hitta omkretsen?

Det första steget är att identifiera enklare figurer inom denna sammansatta figur. Du kan dela upp den i en rektangel och en halvcirkel, enligt bilden nedan.

Du vet hur man hittar omkretsen på en rektangel och du vet hur man hittar omkretsen på en cirkel. Här är omkretsen för rektangelns tre fasta sidor 8 + 20 + 20 = 48 fot. (Observera att endast tre sidor av rektangeln kommer att adderas till omkretsen för den sammansatta figuren eftersom den andra sidan inte ligger vid en kant; den täcks av halvcirkeln!)

För att hitta halvcirkelns omkrets använder du formeln med en diameter på 8 fot, och tar sedan hälften av resultatet. Halvcirkelns omkrets är , eller ungefär 12,56 fot, så den totala omkretsen är ungefär 60,56 fot.

Vad är arean (till närmaste hundradel) av figuren nedan? (Båda de rundade områdena är halvcirklar.)

A) 16.56 in2

B) 7.14 in2

C) 4 in2

D) 3.14 in2

Cirklar är en viktig geometrisk form. Avståndet runt en cirkel kallas omkrets, och det inre utrymmet i en cirkel kallas area. För att beräkna en cirkels omkrets och area krävs ett tal som kallas pi (), som är en icke-avslutande, icke-repetitiv decimal. Pi approximeras ofta av värdena 3,14 och . Du kan hitta omkretsen eller arean för sammansatta former – inklusive former som innehåller cirkulära delar – genom att tillämpa formlerna för omkrets och area där det är lämpligt.