Integration och differentiering är två mycket viktiga begrepp i kalkyl. Dessa används för att studera förändringen. Kalkyl har en mängd olika tillämpningar inom många områden inom såväl vetenskap som ekonomi. Dessutom kan vi hitta kalkyl i finansbranschen samt vid analys av aktiemarknaden. I den här artikeln kommer vi att ha några differentierings- och integrationsformler med exempel. Låt oss lära oss det intressanta begreppet!

Differentierings- och integrationsformel

Vad är differentiering?

Differentiering är det algebraiska förfarandet för att beräkna derivat. Derivatan av en funktion är lutningen eller gradienten för den givna grafen i en given punkt. Gradienten för en kurva i en given punkt är värdet av den tangent som dras till kurvan i den givna punkten. För icke linjära kurvor varierar kurvans lutning i olika punkter längs axeln. Det är därför svårt att beräkna gradienten i sådana fall.

Det definieras också som förändringen av en egenskap i förhållande till en enhetsförändring av en annan egenskap.

\(\frac{ \Delta f(x)}{\Delta x}\)

är ett mått på förändringshastigheten för f(x), i förhållande till x.

Och gränsvärdet för detta förhållande, när \(\Delta\) x går mot noll,

dvs. \(\(\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x)}{\Delta x}\)

kallas för den första derivatan av funktionen f(x).

Vad är integration?

Integration är processen för att beräkna bestämda eller obestämda integraler. För en viss funktion f(x) och ett slutet intervall på den reella linjen,

är den bestämda integralen,

\(\int_{a}^{b} f(x)\;dx \)

området mellan funktionens graf, den horisontella axeln och de två vertikala linjerna. Dessa två linjer kommer att ligga vid ändpunkterna av ett intervall.

När ett specifikt intervall inte anges kallas det för obestämd integral.

Vi kommer att beräkna den bestämda integralen genom att använda antiderivat. Därför är integrering den omvända processen av differentiering.

Håll dig i minnet att differentiering beräknar lutningen på en kurva, medan integrering beräknar arean under kurvan, å andra sidan är integrering den omvända processen av den.

Några grundläggande differentieringsformler

(1) \(\frac{d}{dx}(c)\) = 0 , c är en konstant.

(2) \(\frac{d}{dx}(x)\) = 1

(3) \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)

(4) \(\frac{d}{dx}(u\pm v)= \frac{d}{dx}u\pm \frac{d}{dx}v \)

(6) \(ddx(uv)=udvdx+vdudx \)

(7) \(\frac{d}{dx}{uv}=u\frac{d}{dx}v+v\frac{d}{dx}\)u detta är Produktregeln

Några grundläggande integrationsformler

(1) \(\int 1\; dx = x+c \)

(2) \(\int m \;dx = mx + c \)

(3) \(\int x^n dx = \frac {x^{n+1}}{ n+1} + c \)

(4) \(\int sinx \;dx = -cos x +c \)

(5) \(\int cos x \;dx = sin x + c \)

(6) \(\int sec^2 x \;dx = tan x +c \)

(7) \(\int \frac{1}{x} \;dx = ln\; x + c \)

(8) \(\int e^x \;dx = e^x + c \)

(9) \(\int a^x \;dx = \frac{a^x}{ln \;a} + c \)

Lösta exempel för dig

Q.1: Vad är \(\frac{d}{dx} x^5\)?

Lösning: Vi tillämpar formeln

\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)

Här n=5, Så

Lösningen är \(5x^4 \)