Vi ska göra ett problem som handlar om marginalkostnad. Jag vill särskilt ta reda på hur marginalkostnaden faktiskt förhåller sig till kostnaden för att producera ytterligare en vara. Låt oss ta en titt på vårt exempel med skateboarden. Anta att C(x) är den totala kostnaden för att producera x skateboards. Detta är vår kostnadsfunktion: C(x) är 1800 plus 10x plus 0,02x². Naturligtvis kommer kostnaden att vara i dollar.
Vi kommer att göra tre saker. Vi ska hitta marginalkostnadsfunktionen, det är bara C'(x). B; vi hittar c'(500) och anger enheterna. I del c ska vi hitta den faktiska kostnaden för att producera den 501:a skateboarden och jämföra den med vårt svar i del b.
Vi vill verkligen se hur bra en approximation av marginalkostnaden är för att producera den 501:a skateboarden. Så första delen a; hitta marginalkostnadsfunktionen. Det viktigaste att komma ihåg om marginalkostnaden är att den bara är derivatan av cot. Så marginalkostnaden blir C'(x). Det kommer att vara väl derivatan av 1800 är 0, derivatan av 10x är 10 plus, derivatan av 0,02x² är 2 gånger 0,02, 0,04x. Det är ganska enkelt. Så detta är min marginalkostnadsfunktion.
Del b; hitta marginalkostnaden vid 500 och ange enheter. Så jag ska bara sätta in 500 i den här funktionen. C'(500) är 10 plus 0,04 gånger 500. När jag multiplicerar med decimaler kan jag tänka mig 0,04 gånger 500 som att multiplicera med 4 och sedan dividera med 100. Genom att multiplicera med 4 får jag 2 000. Dividerar man med 100 får man 20. 20 och 10 ger 30. Det blir alltså 30, och vilka är enheterna?
Vi måste komma ihåg att C'(500) faktiskt är detsamma som dc/dx. Så jag kan skriva c'(x) på detta sätt. När du skriver derivatan i denna form är det mycket lättare att se vad enheterna skulle vara. Enheter av kostnadsfunktionen dividerat med enheter av x. Kostnadsfunktionen har enheter av dollar. X är bara antalet skateboards, så detta skulle vara dollar per skateboard, och det är vad vi har här; dollar per skateboard. Så det är ett bra sätt att få fram enheterna för ett derivat var att titta på formen.
I del c vill vi hitta den faktiska kostnaden för 501st. Låt mig bara skissa upp vad jag ska göra här. Den faktiska kostnaden kommer att vara C(501) minus c(500). Låt oss se att detta är en mycket mer komplicerad beräkning än vad vi just gjorde, men det kommer att ge oss den faktiska kostnaden för den 501:a skateboarden. Så låt oss ta denna beräkning här borta till höger.
Så jag behöver C(501) minus C(500). Låt mig beräkna var och en av dem separat. Först C(501). Detta är min kostnadsfunktion. Det är 1800 plus 10 gånger 501 plus 0,02 501². Så 1800 plus 10 gånger 501 är 5 010 plus 0,02 gånger 501² är 251 001. Sedan måste jag multiplicera detta med 0,02. Det är samma sak som att multiplicera med 2 och dividera med 100. Multiplicering med 2 skulle ge mig 502 002. Dividera med 100 skulle ge mig detta. Så plus 5 010 plus 1800. När jag nu lägger ihop allt detta ser jag att jag har 10 000, 30 och 2 cent. Plus 1800 blir 11 832 och 2 cent. Det är min kostnad vid 501 skateboards.
Vad är min kostnad vid 500? Jag måste använda den här funktionen igen 1 800 plus 10 gånger 500 plus 0,02 gånger 500². Det är bara 1 800 plus 5 000 plus 500² är 250 000 gånger 0,02 multiplicera återigen med 2 500 000 och dividera med 100, vilket innebär att jag sätter en decimalpunkt precis där. Så detta är 5 000 plus ytterligare 5 000 plus 1 800. Detta kommer att ge mig 11 800.
Nu blir skillnaden C(501) minus C(500) 30 dollar och 2 cent. Detta är den faktiska kostnaden för att producera den 501:a skateboarden. Titta på allt arbete jag just gjort bara för att finna att den faktiska kostnaden är 30 dollar och 2 cent. Det är den faktiska kostnaden för den 501:a skateboarden.
Min approximation med hjälp av marginalkostnaden här borta var 30 dollar per skateboard. Detta var också mycket lättare att beräkna. Så detta är värdet av marginalkostnaden. Ta derivatan, sätt in 500 och du får en mycket noggrann uppskattning av kostnaden för ytterligare en skateboard, jämfört med den beräkning jag gjorde här borta som tog mig halva brädan. Marginalkostnaden är alltså ett mycket värdefullt begrepp. Det ger dig också en mycket snabb uppskattning av kostnaden för att producera ytterligare en skateboard.