Historia om logaritmer

Uppfinningen av logaritmen föregicks av jämförelsen av aritmetiska och geometriska sekvenser. I en geometrisk sekvens bildar varje term ett konstant förhållande till sin efterföljare; till exempel har …1/1 000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1 000… ett gemensamt förhållande på 10. I en aritmetisk sekvens skiljer sig varje successiv term med en konstant, den så kallade gemensamma differensen; till exempel har …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… en gemensam differens på 1. Observera att en geometrisk sekvens kan skrivas i termer av dess gemensamma kvot; för den geometriska sekvensen ovan: …10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103…. Att multiplicera två tal i den geometriska sekvensen, till exempel 1/10 och 100, är lika med att addera de motsvarande exponenterna för det gemensamma förhållandet, -1 och 2, för att få 101 = 10. Multiplikation omvandlas alltså till addition. Den ursprungliga jämförelsen mellan de två serierna baserades dock inte på någon uttrycklig användning av exponentiell notation; detta var en senare utveckling. År 1620 publicerades den första tabellen baserad på begreppet att relatera geometriska och aritmetiska sekvenser i Prag av den schweiziske matematikern Joost Bürgi.

Den skotska matematikern John Napier publicerade sin upptäckt av logaritmer år 1614. Hans syfte var att hjälpa till vid multiplikation av storheter som då kallades sinus. Hela sinus var värdet av sidan i en rätvinklig triangel med en stor hypotenusa. (Napiers ursprungliga hypotenusa var 107.) Hans definition gavs i termer av relativa hastigheter.

Logaritmen för varje sinus är därför ett tal som mycket enkelt uttrycker den linje som ökade lika mycket i den meene tiden medan linjen för hela sinus sjönk proportionellt i denna sinus, båda rörelserna var lika tidsbestämda och början lika förskjuten.

I samarbete med den engelske matematikern Henry Briggs justerade Napier sin logaritm till dess moderna form. För Napiers logaritm skulle jämförelsen vara mellan punkter som rör sig på en graderad rak linje, L-punkten (för logaritmen) rör sig jämnt från minus oändligt till plus oändligt, X-punkten (för sinus) rör sig från noll till oändligt med en hastighet som är proportionell mot dess avstånd från noll. Dessutom är L noll när X är ett och deras hastighet är lika i denna punkt. Kärnan i Napiers upptäckt är att detta utgör en generalisering av förhållandet mellan aritmetiska och geometriska serier, dvs. att multiplikation och höjning till en potens av X-punktens värden motsvarar addition respektive multiplikation av L-punktens värden. I praktiken är det lämpligt att begränsa L och X rörelsen genom kravet att L = 1 vid X = 10 utöver villkoret att X = 1 vid L = 0. Denna förändring gav upphov till Briggs logaritm, eller gemensam logaritm.

Napier dog 1617 och Briggs fortsatte ensam och publicerade 1624 en tabell med logaritmer beräknade till 14 decimaler för tal från 1 till 20 000 och från 90 000 till 100 000. År 1628 gav den holländske förläggaren Adriaan Vlacq ut en tabell med 10 placeringar för värden från 1 till 100 000 och lade till de saknade 70 000 värdena. Både Briggs och Vlacq ägnade sig åt att upprätta log trigonometriska tabeller. Sådana tidiga tabeller var antingen till en hundradel av en grad eller till en bågminut. På 1700-talet publicerades tabeller för 10-sekundersintervaller, vilket var praktiskt för tabeller med sju decimaler. I allmänhet krävs finare intervall för beräkning av logaritmiska funktioner av mindre tal – till exempel vid beräkning av funktionerna log sin x och log tan x.

Förmågan till logaritmer påverkade i hög grad utformningen av plan och sfärisk trigonometri. Procedurerna för trigonometri omarbetades för att producera formler där de operationer som är beroende av logaritmer görs på en gång. Att använda tabellerna bestod då endast av två steg, nämligen att erhålla logaritmer och, efter att ha utfört beräkningar med logaritmerna, att erhålla antilogaritmer.

Francis J. Murray