Abstract

Den enklaste vägen till att förstå de så kallade utvidgningarna av talbegreppet går via de operationer som är omvända till addition, multiplikation och potentiering. Låt oss inleda våra undersökningar med en observation av Russell som blottlägger det grundläggande misstaget i den inrotade uppfattningen om dessa nya ”tal”: ”Ett av de misstag som har fördröjt upptäckten av korrekta definitioner i detta område är den vanliga föreställningen att varje utvidgning av talet inkluderade de tidigare sorterna som specialfall. Man trodde att när man hade att göra med positiva och negativa heltal skulle de positiva heltalen kunna identifieras med de ursprungliga teckenlösa heltalen. Återigen trodde man att ett bråk vars nämnare är 1 kan identifieras med det naturliga tal som är dess täljare. Och de irrationella talen, som t.ex. kvadratroten av 2, antogs finna sin plats bland rationella bråk, som större än vissa och mindre än andra, så att rationella och irrationella tal kunde tas samman som en klass, kallad ”reella tal”. Och när talbegreppet utvidgades ytterligare så att det omfattade ”komplexa” tal, dvs. tal som innefattar kvadratroten av – 1, trodde man att de verkliga talen kunde betraktas som de av de komplexa talen där den imaginära delen (dvs. den del som var en multipel av kvadratroten av – 1) var noll. Alla dessa antaganden var felaktiga och måste förkastas … om korrekta definitioner ska kunna ges. ”1