Elektronernas banor i en heliumatom.

Figur 1. Formen på elektronernas banor hos en heliumatom i para-konfigurationen, som motsvarar atomens grundtillstånd. Två elektroners banor visas med olika färger (första elektronen – blå, andra elektronen – grön). De raka linjerna som utgår från kärnan visar riktningarna för de orbitala momenten och riktningarna för de inducerade magnetfälten för varje elektron.

Abstract.

Vår analys av elektronbanan för en heliumatom upprepar flera aspekter av vår analys av elektronbanan för en väteatom, eftersom det är samma typer av banor. Med hänsyn till att väteatomen bara har en elektron var vår lösning inte strikt den enda möjliga lösningen för elektronbanan.

I fallet med Heliumatomen finns det bara en lösning för två elektroner, som skapar både dipol- och quadrupolmoment. Ytterligare begränsningar kan användas för modellkontroll, eftersom orto- och parakonfiguration av elektronbanor har sina specifika uppsättningar av energinivåer.

Vi presenterar här en enkel lösning samt en detaljerad bild av en elektronbanor i Heliumatomer. Både para- och ortho-konfigurationer av elektronbanor analyseras. Vi förklarar varför grundtillståndet i en heliumatom inte är det lägsta energitillståndet.

Kvantmekaniska uttryck för Hamiltonianer för både helium och väte innehåller inte termen för Maxwells elektrodynamik. Magnetiska fält som induceras av roterande elektroner ignoreras helt enkelt.

Vi kombinerar elektrodynamik och kvantmekanik för att beräkna de exakta parametrarna för banor.

Pauliprincipen postulerar att elektronernas spinnriktningar är uppåt och nedåt. Denna princip måste postuleras i kvantmekaniken, eftersom den motsäger både energihushållningslagen och även elektrostatiken. Vi visar att de faktiska spinnriktningarna är radiella riktningar mot kärnans centrum och bort från kärnans centrum. Vår modell förklarar Pauliprincipen, men behöver inte ett postulat.

Elektronernas orbitala moment i vår modell anpassar sig längs radierna för elektronernas banor. De kan ha riktningar mot och bort från kärnans centrum. I vår modell är elektronernas spinns riktade längs de magnetfält som skapas av elektronernas orbitala rörelse. Elektronspins beter sig på samma sätt som en kompass, som ställer in sig längs det starkare magnetfältet.

Komplicerade energispektrum för en heliumatom får en enkel förklaring i termer av två typer av banor och två uppsättningar energinivåer för ortho- och para-helium.

Vi använder kvantmekaniken på samma sätt som N. Bohr använde för sin modell av väteatomen, men vi använder inga operatörer, så vi är inte bundna av osäkerhetsprincipens statistiska egenskaper.

Med samma tillvägagångssätt som vi använde för väteatomens omloppsbana behöver vi inte använda det kvantmekaniska banpostulatet, Pauli-postulatet eller några andra postulat.

Introduktion & problemets nuvarande tillstånd.

Kvantmekaniska banor indikerar att den maximala sannolikhetstätheten för att hitta en elektron i en atom är belägen inne i protonen i en väteatom. Elektronbanan beräknas som en konvolution av banans form och den experimentellt föreslagna formen av sfäriska skal.

För en Heliumatom fungerar inte detta tillvägagångssätt. Det är därför som det förutom elektronbanans cirkulära form inte finns någon beräkning av elektronbanans faktiska form i en heliumatom.

Experiment visar att när det gäller en heliumatom är skillnaden mellan orto-helium och para-helium inte begränsad till att ha motsatt spinn. Det är olika konfigurationer av atombanor med olika uppsättningar energinivåer. Karaktären av denna skillnad diskuteras inte.

I projekt 2 ska vi ta itu med dessa problem och diskutera andra frågor.

I föregående del angav vi att för en väteatom kan differentialmetoden ge flera typer av lösningar. Närvaron av endast en elektron gjorde det ganska svårt att välja en korrekt lösning för ett enda dipolmoment. Två elektroner i en Heliumatom skapar både ett dipol- och ett quadrupolmoment, samt begränsar parametrarna för varje del av banan till en enda fjärdedel av en sfär. I kombination med det ädla beteendet i kemiska reaktioner ger dessa förhållanden oss möjlighet att hitta en enda lösning.

Elektronernas spinnriktningar.

Först måste vi göra en notering om spinnriktningarna och om termen spin-orbitalinteraktion.

• Elektronernas individuella spinnriktningar i en heliumatom är lika med en halv. Det totala spinnet hos en heliumatom i grundtillståndet är lika med noll. Ur matematisk synvinkel är detta en enkel uppgift om två vektorer, som bara har en lösning i vektoralgebra. Spinnvektorerna måste vara placerade längs samma linje och ha motsatta riktningar. Om dessa vektorer inte är placerade längs samma raka linje kommer deras summa inte att vara lika med noll. Dessa två vektorer kommer att ge upphov till ett rotationsmoment. Det innebär att i en heliumatoms grundtillstånd bör spinnvektorerna för båda elektronerna vara riktade längs den linje som förbinder deras positioner. För singlettillståndet är spinnriktningarna motsatta. Detta påstående är strikt korrekt för para-heliumatomer. För en orto-Heliumkonfiguration är situationen lite mer komplicerad och vi ska analysera den nedan.

Låt oss ta en titt nedan på elektronernas spinnriktningar.

Figur 2a. Summan av spinnvektorer som är riktade längs samma linje i motsatta riktningar resulterar i ett totalt spinn som är lika med noll i vår modell.

Figur 2b. Summan av upp- och nedåtriktade vektorer av elektroners spinn är inte lika med noll. Kombinationen av dessa spinn resulterar i ett nytt rotationsmoment i modellen, som använder Pauliprincipen.

Elektronernas spinnvektorer har en magnetisk natur. De beter sig på samma sätt som en kompass, vilket innebär att de ordnar sig längs ett starkare magnetfält, som skapas av elektronernas banrörelse. Detta för oss till slutsatsen att magnetiska vektorer av orbitala moment i vår modell också bör vara riktade mot kärnans centrum.

En elektrons kontinuerliga rörelse längs sin bana inducerar magnetfält. I vår modell skapas fyra motsatta magnetfält i längden av en omgång av en elektronbana. Dessa fält är lika stora i amplitud.

Heliumatom.

För heliumatomen ska vi använda samma modell som vi använde för väteatomen. Den enda skillnaden är kärnans dubbla laddning och de två elektronerna i omloppsbana.

Energin hos en rörlig elektron kan utifrån klassisk mekanik och kvantmekanik uttryckas på följande sätt:

$\frac {m {\ } v^2}{2} = h \cdot f \cdot n$ (1).

I denna formel är $m$ – elektronmassan, $v$ – elektronens hastighet, $h$ – Plancks konstant, $f$ – frekvensen för en elektronvåg och $n$ är ett helt tal.

Ekvation (1) representerar skillnaden mellan kvantmekanikens ”rigida rotator” och vår modell. Vi betraktar varje partikel med sin individuella våg, snarare än två eller tre partiklar med en enda kombinerad våg. I vår modell ska vågorna interferera sinsemellan, men kan inte helt enkelt adderas till varandra.

Det är därför formel (1) skrivs för varje enskild elektron och det är samma sak för väte- eller heliumatomer.

Längden på fyra hemisfärer måste vara lika med:

$L = 4 {\ } \pi {\\ } \pi {\ } r = n \cdot \lambda$ (2).

Frekvensen för elektronens rotation i omloppsbanan kan hittas som elektronens hastighet dividerad med banans längd:

$f = \frac {v}{L} = \frac {v}{4 {\ } \pi {\ }r}$$ (3).

Substitution av frekvensen från (3) i (1) resulterar i:

$\frac {m {\ } v^2}{2} = h {\ } \frac {v {\ } n }{4 {\ } \pi {\ } r} = \frac {\hbar {\ } v {\ } n}{2 {\ } r} $ (4a).

Vi använder den reducerade Planckkonstanten $\hbar = \frac {h}{2 \pi}$ i uttryck (4a).

Som ett resultat av ekvation (4) fick vi uttrycket för elektronernas omloppsmoment:

$m {\ } v {\ } r = \hbar \cdot n$ (4).

Uttrycket (4) innebär att elektronernas omloppsmoment är lika med hela talet, multiplicerat med den reducerade Planckkonstanten. Detta uttryck är detsamma som det vi fick för väteatomen och det betyder att vi inte behöver postulatet om banmomentet för heliumatomen. Denna slutsats kommer att vara viktig för andra atomer i det periodiska systemet med elektronbanor av $s$-typ i sin struktur.

I vår analys av formen på vätgasatomens elektronbana kom vi fram till att det inte finns någon numerisk lösning för den typ av bana där vektorerna av inducerade magnetfält är parallella eller vinkelräta mot axlarna $x, y, z$. En sådan bankonfiguration skulle motsäga resultatet av ekvation (4).

Lösning för Faraday-ekvationen

$\oint E \cdot ds = – \frac{\partial \Phi _{mag}}{\partial t}$ (5)

Vi hittade i form av den elliptiska elektronbanan, projicerad på den sfäriska ytan.

Figur 3. Elektronernas bana för heliumatomens ortokonfiguration.

Figur 4. Elektronernas omloppsbana för Heliumatomens parakonfiguration. Den gröna elektronen rör sig längs den blå linjen. Blå elektron rör sig längs den gröna linjen. Detta gjordes för att få bättre kontrast. Raka linjer visar riktningen för inducerade fält.

I para-konfigurationen uppvisar banornas konfiguration såväl som elektronernas positioner vid varje tidpunkt en sfärisk symmetri av punkttyp. Det innebär att den raka linje som förbinder elektronernas positioner alltid kommer att korsa kärnans centrum.

Förfarandet för att hitta parametrarna för elektronernas bana är detsamma som vi använde för väteatomen. Vi måste hitta värdena för tre parametrar, som definierar elektronernas elliptiska bana i Heliumatomen och vi ska uttrycka dessa värden i enheterna för elektronbanans radie.

Vi börjar med ortokonfigurationen.

Och även om värdena för dessa parametrar, uttryckta i enheter av radien, liknar uttrycken för väteatomen, är de faktiska värdena för heliumatomen annorlunda:

$a = 0.707 \cdot r = \frac {1.414 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $, $b = 1.252 \cdot r = \frac {2.504 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $ (6).

Heliumjonens energi, när endast en elektron är kvar på banan, är densamma som beräknades i Bohrs modell:

$E_0 = \frac {m \cdot e^4}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot h^2} = 54,4 eV$ (7).

Detta resultat är välkänt och behöver ingen ytterligare tolkning.

I fallet med en heliumatom med två elektroner som kretsar kring kärnan börjar vi med beräkningar av banans längd.

Banans längd är lika med:

$L = \pi \cdot =4 \pi r$ (8).

Vi använde Ramanujans formel för ellipsens längd i våra beräkningar.

Dessa banor har tre parametrar $a, b$ och $r$. I likhet med väteatomen kan värdena för parametrarna $a$ och $b$ uttryckas i enheterna för banans sfäriska radie $r$ som:

$a = 0,707 \cdot r$, $b = 1,252 \cdot r$ (9).

Funktionen, som representerar elektronens bana samt derivatan av denna funktion, är kontinuerliga och har inga singulariteter.

För två elektroner på sfärens yta råder det jämvikt mellan Coulombkraften och centripetalkraften:

$\frac{2 {\ } e^2}{4{\ } \pi {\ }\ }epsilon_0 {\ } r^2} = \frac{2 m {\ } v^2}{r} $ (10).

Elektronens hastighet kan uttryckas från (10) som:

$v = \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} } (11).

Formel (8) garanterar att uttrycket för banmomentet är korrekt:

$m \cdot v \cdot r = n \cdot \hbar$ (12).

Kombinationen av (11) och (12) ger oss radien för elektronbanans sfäriska yta:

$m \cdot r {\ } \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} } = n \cdot \hbar$ (13).

$m^2 \cdot r^2 {\ } \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} = n^2 \cdot \hbar^2 $ (14).

$m {\ } r {\ } e^2 $=$ 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2 $ (15).

$r = \frac {4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2}{m {\ } e^2}$ (16).

Energin för två elektroner på Heliumbanan kan beräknas som:

$E = 2 \cdot \frac {m {\ } v^2}{2}$ (17).

Den andra potensen av elektronens hastighet kan uttryckas från (11) som:

$v^2 = \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ } m} = \frac {e^2 \cdot e^2 \cdot m}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } m {\ } 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2} = \frac {e^4}{4 {\ } {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} $ (18).

Vi använde uttryck (16) för elektronbanans radie.

Från ekvation (17) skulle värdet av energin för elektrontillstånden vara lika med:

$E = \frac {m { {\ }e^4}{4 {\ } {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} = 27,2 eV $ (19).

Detta värde är energin för Heliumatomens lägsta tillstånd i ortho-konfigurationen. Denna energimängd behövs för att en elektron ska nå joniseringsnivån. Om vi markerar joniseringsenergin i vakuumet som noll, bör denna energi vara negativ.

Formel (27) beskriver spektrumet av energinivåerna för heliumatomen i orto-konfiguration. Andra energinivåer av orto- Helium för $n > 1$, liksom övergångar mellan dem bör kunna observeras i Heliumspektren, förutsatt exciteringsmetod som tar hänsyn till spinnförbjudna övergångar mellan singlet para- Helium grundtillstånd och triplet orto- Helium exciterade tillstånd. Under normala förhållanden med en optisk excitationskälla är spektrumet av ortho- Heliumlinjer praktiskt taget osynligt.

Detta ortho-tillstånd hos Heliumatomen kan inte vara grundtillståndet, eftersom både orbitalmomentet och spinnet hos atomen i detta tillstånd inte är lika med noll. Det betyder att heliumatomen i detta tillstånd skulle vara mycket reaktiv och dess beteende skulle likna beteendet hos en väteatom.

Grundtillståndet hos den monoatomära tröghetsgasen Helium tillhör Heliums paratillstånd.

Para-Helium.

Figur 5 nedan visar para-konfigurationen av en elektronbana hos en Heliumatom. En elektrons banor visas i blått och en annan i grönt. Dessa banor har en symmetripunkt i kärnans centrum. Vid varje tidpunkt intar två elektroner positioner på motsatta sidor av diametern på elektronernas banor. Riktningarna för banmomenten, liksom riktningarna för inducerade magnetfält, anges av fyra röda linjer för en elektron och av fyra gröna linjer för en annan elektron. Vinkeln mellan två linjer av samma färg är ungefär 109,47 grader. Riktningarna för två moment och två magnetfält för varje elektron är mot sfärens centrum och två andra vektorer har riktningar bort från sfärens centrum.

Figur 5. Elektronernas banor för en heliumatom i para-konfigurationen.

Figur 5 visar elektronernas banor i para-konfigurationen hos en heliumatom. Gröna och blå elektroner är placerade på motsatta sidor av diametern på sin bana. Deras banor är symmetriska i förhållande till protonens position. Det inducerade magnetfältets riktningar visas som de gröna och blå linjerna.

För para-konfigurationen av en elektronbanans totala spinn, banmoment samt integralerna av det elektriska och det inducerade magnetfältet är lika med noll.

Som ett resultat av detta upptar en Heliumatom i para-konfigurationen av banan ett stabilt energitillstånd och det behövs ingen yttre interaktion för att kompensera de obalanserade banmomenten och spinnfälten. Det är anledningen till att heliumatomer i para-konfigurationen är ädla, trögrörliga & monoatomära gaser.

För att hitta värdet av energin i para-konfigurationen måste vi multiplicera värdet av en elektrons energi i orto-konfigurationen med den steriska vektorkoefficienten (se nästa stycke):

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0,909 $ (20).

Energin för grundtillståndet hos en heliumatom är lika med energin för det lägsta tillståndet i para-konfigurationen:

$E_0 = 27,2 \cdot \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24,7 eV$ (21).

Detta resultat stämmer överens med det experimentella värdet för joniseringsenergin för den första elektronen i en heliumatom, som är lika med $E_{ionisering} = 24,6 eV$. Skillnaden mellan energierna på cirka $\Delta E = 0,1 eV$ bör tillskrivas spin-spin-interaktion.

Tyvärr existerar en heliumatom, trots att den befinner sig i grundtillståndet, endast i para-konfigurationen. De exciterade tillstånden i båda konfigurationerna kan observeras i spektraldata, även om övergångar mellan dessa två tillstånd inte kan observeras vid optisk excitering eftersom de är spinnförbjudna. Elektronan excitation skulle lösa det problemet och det skulle vara möjligt att observera nivåer för båda tillstånden.

Beräkningar av sterisk vektorkoefficient för para-helium.

I våra beräkningar av elektronernas orbitalmoment använde vi principen om oberoende av ortogonala komponenter av en elektrons rörelse. Utan ett särskilt uttalande antog vi att komponenter som är ortogonala till den orbitala komponenten inte ger något bidrag till den totala energin hos elektronerna i en Heliumatom. Vi beräknade energin hos två elektronsystem som om den totala energin kombineras som en skalär funktion av banans radie och försummade vektorkaraktären hos vinkelkomponenterna i en elektrons bana.

Från den klassiska mekanikens synvinkel ser ett sådant tillvägagångssätt motiverat ut, eftersom två elektroner i en heliumatom är placerade i motsatta ändar av diametern på sina banor. Samma argument skulle kunna sägas om kvantmekaniken, som framställer elektronerna som ett distribuerat moln, där varje elektrons positioner inte kan definieras eller bestämmas.

Men våra beräkningar är baserade på elektrodynamik.

Energin hos en elektron i ett elektriskt fält kan beräknas som fältpotentialen multiplicerad med elektronens laddning:

$Energi = E \cdot e$ (22).

Detta uttryck beskriver den potentiella energin. Det blir elektronens energi efter att elektronen passerat sträckan längs fältet med sådan potential.

Enligt Faradays formel är det magnetiska fältet som induceras av rörliga laddningar lika med:

$\oint E \cdot ds = – \frac{\partial \Phi _{mag}}{\partial t}$ (23).

Denna Faradayformel ger oss möjlighet att framställa reglerna för addition av vektoruttryck, som är proportionella mot energierna hos varje elektron. Istället för ett tredimensionellt integral av ett elektriskt fält kommer vi att finna summan av vektorerna av inducerade magnetfält för den första elektronen och vektorn av inducerat magnetfält för den andra elektronen eftersom dessa värden står i direkt proportion till varandra. Sedan ska vi använda den steriska koefficienten som vi finner för inducerade magnetiska vektorer för att kombinera elektronernas energi.

Värdet av energin för varje elektron i ekvation (24) är lika med hälften av den totala energin, som vi fann för ortokonfigurationen av heliumatomen:

$$E_1 = E_2 = \frac {27.2}{2} $ (24).

Energin för två elektronsystem kommer att vara lika med energin för den första elektronen plus energin för den andra elektronen, multiplicerat med den steriska vektorkoefficienten:

$Energy = E_1 +k \cdot E_2 = \frac {1}{2} \cdot (E_1+k \cdot E_2)$ (24).

Inducerade magnetfält för varje elektron i en heliumatom har kubens geometri med vinklar på 109,47 grader mellan de inducerade magnetfältens riktningar. Det innebär att varje vektor av inducerat magnetfält kan representeras av en linje från kubens centrum till ett icke angränsande hörn av kuben:

Figur 6. illustrerar fallet för två elektroner vars banor har punktsymmetri i kubens centrum.

Den röda sfären representerar Heliumkärnan. De röda linjerna visar riktningen för det inducerade magnetfältet för en elektron. De gröna linjerna visar riktningen på de inducerade magnetfälten för den andra elektronen. Av de fyra vektorerna för varje elektron har två vektorer riktning mot kärnan och de två andra vektorerna riktning mot kubens hörn.

Den steriska koefficienten kan beräknas från figur 6. Om vi antar att längden på kubens sida är 2a enhet, skulle längden på diagonalerna AO och BO vara lika med:

$AO = BO = a \cdot \sqrt 3$ (26).

Halva summan av dessa två moment eller linjen OC har längden:

$OC= \frac {1}{2} (AO + BO) = a \cdot \sqrt 2$ (27).

Det betyder att för att addera vektormomentet för en andra elektron till vektorn för den första elektronen är det nödvändigt att multiplicera vektorn för den andra elektronen med den steriska koefficienten:

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0,908 $ (24).

$E_{para} = \frac {1}{2} \cdot (E_1 + E_2 \cdot \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24.7 eV$ (27).

*************************