Definition: En triangel är en sluten figur som består av tre linjesegment.

En triangel består av tre linjesegment och tre vinklar. I figuren ovan är AB, BC, CA de tre linjesegmenten och ∠A, ∠B, ∠C de tre vinklarna.

Det finns tre typer av trianglar baserade på sidor och tre baserade på vinklar.

Typer av trianglar baserade på sidor

Ekvilaterala trianglar: En triangel där alla tre sidorna är lika långa är en liksidig triangel.

Då alla sidor är lika långa är också alla vinklar lika långa.

Isosceles triangel: En triangel som har två lika långa sidor är en liksidig triangel.

De två vinklar som är motsatta till de lika långa sidorna är lika långa.

Scalene triangel:

Typer av trianglar baserade på vinklar

Avskuren triangel: En triangel som har tre sidor av olika längd kallas för en skalen triangel: En triangel vars alla vinklar är spetsiga kallas spetsvinklad triangel eller Akut triangel.

Obtusvinklad triangel: En triangel vars ena vinkel är trubbig är en trubbigvinklad triangel eller trubbig triangel.

Rättvinklad triangel: En triangel vars ena vinkel är rätvinklig är en rätvinklig triangel eller rätvinklig triangel.

I figuren ovan kallas den sida som är motsatt till den rätvinkliga vinkeln, BC, för hypotenusan.

För en rätvinklig triangel ABC,

BC2 = AB2 + AC2

Detta kallas för pythagoras sats.

I triangeln ovan är 52 = 42 + 32. Endast en triangel som uppfyller detta villkor är en rätvinklig triangel.

Därmed hjälper Pythagoras sats till att ta reda på om en triangel är rätvinklig.

Typer av trianglar

Det finns olika typer av rätvinkliga trianglar. Från och med nu fokuserar vi bara på ett speciellt par rätvinkliga trianglar.

1. 45-45-90 triangel
2. 30-60-90 triangel

45-45-90 triangel:

En 45-45-90 triangel är, som namnet antyder, en rätvinklig triangel där de andra två vinklarna är 45° vardera.

Detta är en likbent rätvinklig triangel.

I ∆ DEF är DE = DF och ∠D = 90°.

Sidorna i en 45-45-90-triangel är i förhållandet 1 : 1 : √2.
30-60-90 triangel:

En 30-60-90 triangel är, som namnet antyder, en rätvinklig triangel där de andra två vinklarna är 30° och 60°.

Detta är en skalen rätvinklig triangel eftersom ingen av sidorna eller vinklarna är lika stora.

Sidorna i en 30-60-90 triangel är i förhållandet 1 : √3 : 2

Som alla andra rätvinkliga trianglar uppfyller dessa två trianglar Pythagoras sats.

Grundläggande egenskaper hos trianglar

• Summan av vinklarna i en triangel är 180°. Detta kallas vinklarsummeegenskapen.
• Summan av längderna på två av sidorna i en triangel är större än längden på den tredje sidan. På samma sätt är skillnaden mellan längderna av två valfria sidor i en triangel mindre än längden av den tredje sidan.
• Sidan mittemot den största vinkeln är triangelns längsta sida och sidan mittemot den minsta vinkeln är triangelns kortaste sida.


I figuren ovan är ∠B den största vinkeln och den motsatta sidan (hypotenusan), är triangelns största sida.



I figuren ovan är ∠A den största vinkeln och den motsatta sidan, BC, är triangelns största sida.

• En yttre vinkel i en triangel är lika med summan av dess inre motsatta vinklar. Detta kallas för en triangels yttre vinkelegenskap.


Här är ∠ACD den yttre vinkeln till ∆ABC.

Enligt den yttre vinkelegenskapen är ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Likhet och kongruens i trianglar

Figurer med samma storlek och form är kongruenta figurer. Om två figurer är kongruenta förblir de kongruenta även om de flyttas eller roteras. Figurerna förblir också kongruenta om vi speglar figurerna genom att framställa spegelbilder. Två geometriska former är kongruenta om de täcker varandra exakt.

Figurer med samma form men med proportionella storlekar är liknande figurer. De förblir likartade även om de flyttas eller roteras.

Liknande trianglar

Två trianglar sägs vara likartade om de motsvarande vinklarna i två trianglar är kongruenta och längderna på motsvarande sidor är proportionerliga.

Det skrivs som ∆ ABC ∼ ∆ XYZ och sägs som att ∆ ABC ”är likartad med” ∆ XYZ.

Här är ∠A = ∠X, ∠B =∠Y och ∠C = ∠Z OCH

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

Det nödvändiga och tillräckliga villkoret för att två trianglar ska vara lika är följande:
(1) SSS-kriteriet (Side-Side-Side-Side) för likhet:

Om tre sidor i en triangel är proportionella mot motsvarande tre sidor i en annan triangel sägs trianglarna vara likartade.

Här gäller ∆ PQR ∼ ∆ DEF som

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Side-Angle-Side (SAS)-kriteriet för likhet:

Om de motsvarande två sidorna i två trianglar är proportionerliga och om den ena inkluderade vinkeln är lika med den motsvarande inkluderade vinkeln i en annan triangel så är trianglarna lika.

Här gäller ∆ LMN ∼ ∆ QRS där

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) AAA-kriteriet (Angle-Angle-Angle) för likhet:

Om de tre motsvarande vinklarna i de två trianglarna är lika så är de två trianglarna lika.

Här ∆ TUV ∼ ∆ PQR som

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q och ∠V = ∠R

Kongruens av trianglar

Två trianglar sägs vara kongruenta om alla sidorna i den ena triangeln är lika med motsvarande sidor i den andra triangeln och motsvarande vinklar är lika.

Det skrivs som ∆ ABC ≅ ∆ XYZ och sägs som ∆ ABC ’är kongruent med’ ∆ XYZ.

De nödvändiga och tillräckliga villkoren för att två trianglar ska vara kongruenta är följande:
(1) SSS-kriteriet (Side-Side-Side-Side) för kongruens:

Om tre sidor i en triangel är lika med motsvarande tre sidor i en annan triangel sägs trianglarna vara kongruenta.

Här gäller ∆ ABC ≅ ∆ XYZ eftersom AB = XY, BC = YZ och AC = XZ.
(2) Side-Angle-Side (SAS)-kriterium för kongruens:

Om två sidor och vinkeln inkluderad mellan de två sidorna i en triangel är lika med motsvarande två sidor och den inkluderade vinkeln i en annan triangel, så är trianglarna kongruenta.

Här är ∆ ABC ≅ ∆ XYZ eftersom AB = XY, ∠A = ∠X och AC = XZ.
(3) Vinkel-Sida-Angel (ASA)-kriteriet för kongruens: Om två vinklar och den ingående sidan i en triangel är lika med motsvarande två vinklar och den ingående sidan i en annan triangel så är trianglarna kongruenta.

I figuren ovan är ∆ ABD ≅ ∆ CBD där

∠ABD = ∠CBD, AB = CB och ∠ADB = ∠CDB.
(4) Kriteriet för kongruens med rätvinkelns hypotenus: Om hypotenusan och en sida i en rätvinklig triangel är lika med motsvarande hypotenusa och sida i en annan rätvinklig triangel är trianglarna kongruenta.

Här är ∠B = ∠Y = 90° och AB = XY, AC = XZ.

En triangels area:

En triangels area ges av formeln

En triangels area = (1/2) *bas * höjd

För att hitta en triangels area drar vi en lodrät linje från basen till den motsatta hörnspetsen som ger triangelns höjd.

Så arean av ∆ PQR = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 kvm.

För en rätvinklig triangel är det lätt att hitta arean eftersom det finns en sida som är vinkelrät mot basen, så vi kan betrakta den som höjd.

Höjden på ∆ XYZ är XY och arean är (1/2) * XZ * XY kvadratiska enheter.

Hur hittar vi nu arean på en trubbig triangel LMN ?

För en trubbig triangel förlänger vi basen och drar en linje vinkelrätt från hörnet till den förlängda basen som blir triangelns höjd.

Därmed blir arean av ∆ LMN = (1/2) * LM * NK kvm. enheter.

Lös följande

1)

∆ ABC är en rätvinklig triangel och CD ⊥ AB (⊥ står för ”vinkelrätt”).

Finn i) ∠ACD och ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35, 25

Svar: C

Förklaring:

Konsiderar ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (eftersom summan av vinklarna i en triangel är 180°)

90 + 65 + ∠ACD = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

In ∆ BCD, ∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180° (återigen summan av alla vinklar i en triangel)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Bestäm om följande är rätvinkliga trianglar

A. Båda är rätvinkliga trianglar
B. ∆ ABC är inte en rätvinklig triangel, ∆ DEF är en rätvinklig triangel
C. ∆ ABC är en rätvinklig triangel, ∆ DEF är inte en rätvinklig triangel
D. Båda är inte rätvinkliga trianglar

Svar: B

Förklaring:

Den trippel som uppfyller Pythagoras sats är den uppsättning sidor som bildar en rätvinklig triangel.

3)

Om ∆ ABC = 3 (∆ DEF), vilken av följande är korrekt?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° OCH DE = DF = 2 och EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° OCH DE = DF = 2 och EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° OCH DE = DF = 2 och EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° OCH DE = DF = 3 och EF = 3

Svar: C

Förklaring:

AB och AC är lika → motsatta vinklar är lika.

Därför är ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC och ∆ DEF är lika.