Definíció: A háromszög három vonalszakaszból álló zárt alakzat.

A háromszög három vonalszakaszból és három szögből áll. A fenti ábrán az AB, BC, CA a három vonalszakasz, ∠A, ∠B, ∠C pedig a három szög.

Háromféle háromszög létezik az oldalak, három pedig a szögek alapján.

A háromszögek típusai az oldalak alapján

Egyoldalú háromszög: Az a háromszög, amelynek mindhárom oldala egyenlő hosszúságú, egyenlő oldalú háromszög.

Mivel minden oldala egyenlő, minden szöge is egyenlő.

Egy egyenlő oldalú háromszög: Az a háromszög, amelynek két oldala egyenlő hosszúságú, egyenlő szárú háromszög.

Az egyenlő oldalakkal szemben lévő két szög egyenlő.

Skála háromszög: Azt a háromszöget, amelynek három különböző hosszúságú oldala van, szkalén háromszögnek nevezzük.

Háromszögtípusok a szögek alapján

Vágott szögű háromszög: Azt a háromszöget, amelynek minden szöge hegyesszögű, hegyesszögű háromszögnek vagy hegyesszögű háromszögnek nevezzük.

Törésszögű háromszög: Az olyan háromszöget, amelynek egy szöge tompa, tompaszögű háromszögnek vagy tompa háromszögnek nevezzük.

Jobbszögű háromszög: Egy olyan háromszög, amelynek az egyik szöge derékszögű, derékszögű háromszög vagy derékszögű háromszög.

A fenti ábrán a derékszöggel szemben lévő oldalt, BC-t hipoténusznak nevezzük.

Az ABC derékszögű háromszög esetében,

BC2 = AB2 + AC2

Ezt a Pitagorasz-tételnek nevezzük.

A fenti háromszögben 52 = 42 + 32. Csak az a háromszög, amelyik teljesíti ezt a feltételt, az derékszögű háromszög.

A Pitagorasz-tétel tehát segít megállapítani, hogy egy háromszög derékszögű-e.

A háromszögek típusai

A derékszögű háromszögeknek különböző típusai vannak. Mostantól csak egy speciális derékszögű háromszögpárral foglalkozunk.

1. 45-45-90 háromszög
2. 30-60-90 háromszög

45-45-90 háromszög:

A 45-45-90 háromszög, mint a neve is mutatja, olyan derékszögű háromszög, amelyben a másik két szög egyenként 45°.

Ez egy egyenlő szárú derékszögű háromszög.

A ∆ DEF-ben DE = DF és ∠D = 90°.

A 45-45-90-es háromszög oldalai 1 : 1 : √2 arányban állnak.
30-60-90 háromszög:

A 30-60-90 háromszög, mint a neve is mutatja, olyan derékszögű háromszög, amelyben a másik két szög 30° és 60°.

Ez egy szkalén derékszögű háromszög, mivel egyik oldala vagy szöge sem egyenlő.

A 30-60-90 háromszög oldalai 1 : √3 : 2 arányban állnak

Mint minden más derékszögű háromszög, ez a két háromszög is kielégíti a Pitagorasz-tételt.

A háromszögek alapvető tulajdonságai

• A háromszög szögeinek összege 180°. Ezt nevezzük szögösszeg-tulajdonságnak.
• A háromszög bármely két oldala hosszának összege nagyobb, mint a harmadik oldal hossza. Hasonlóképpen, egy háromszög bármely két oldalának hossza közötti különbség kisebb, mint a harmadik oldal hossza.
• A legnagyobb szöggel szemben lévő oldal a háromszög leghosszabb oldala, a legkisebb szöggel szemben lévő oldal pedig a háromszög legrövidebb oldala.


A fenti ábrán ∠B a legnagyobb szög, és a vele szemben lévő oldal (hipotenzus), a háromszög legnagyobb oldala.



A fenti ábrán ∠A a legnagyobb szög és a vele szemben lévő oldal, BC a háromszög legnagyobb oldala.

• Egy háromszög külső szöge egyenlő a belső ellentétes szögeinek összegével. Ezt nevezzük a háromszög külső szögtulajdonságának.


Itt ∠ACD a ∆ABC külső szöge.

A külső szögtulajdonság szerint ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Hasonlóság és kongruencia háromszögekben

Az azonos méretű és alakú alakzatok kongruens alakzatok. Ha két alakzat kongruens, akkor akkor is kongruensek maradnak, ha elmozdítjuk vagy elforgatjuk őket. Az alakzatok akkor is kongruensek maradnak, ha az alakzatokat tükörképek előállításával tükrözzük. Két geometriai alakzat akkor kongruens, ha pontosan fedik egymást.

Az azonos alakú, de arányos méretű alakzatok hasonló alakzatok. Akkor is hasonlóak maradnak, ha elmozdítjuk vagy elforgatjuk őket.

Háromszögek hasonlósága

Két háromszöget hasonlónak mondunk, ha a két háromszög megfelelő szögei egybeesnek és a megfelelő oldalak hossza arányos.

Azt írjuk, hogy ∆ ABC ∼ ∆ XYZ és azt mondjuk, hogy ∆ ABC “hasonló” ∆ XYZ-hez.

Itt ∠A = ∠X, ∠B =∠Y és ∠C = ∠Z ÉS

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

A két háromszög hasonlóságának szükséges és elégséges feltételei a következők:
(1) Oldal-oldal-oldal (SSS) hasonlósági kritérium:

Ha egy háromszög három oldala arányos egy másik háromszög megfelelő három oldalával, akkor a háromszögeket hasonlónak mondjuk.

Itt ∆ PQR ∼ ∆ DEF mint

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Oldal-szög-oldal (SAS) hasonlósági kritérium:

Ha két háromszög megfelelő két oldala arányos, és az egyik bevont szög egyenlő egy másik háromszög megfelelő bevont szögével, akkor a háromszögek hasonlóak.

Itt ∆ LMN ∼ ∆ QRS, amelyben

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) Szög-szög-szög-szög (AAA) hasonlósági kritérium:

Ha a két háromszög három megfelelő szöge egyenlő, akkor a két háromszög hasonló.

Itt ∆ TUV ∼ ∆ PQR mint

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q és ∠V = ∠R

Háromszögek kongruenciája

Két háromszög akkor mondható kongruensnek, ha az egyik háromszög minden oldala egyenlő a másik háromszög megfelelő oldalaival és a megfelelő szögek egyenlőek.

Azt írjuk, hogy ∆ ABC ≅ ∆ XYZ, és azt mondjuk, hogy ∆ ABC ‘egybeesik’ ∆ XYZ-vel.

A két háromszög kongruens voltának szükséges és elégséges feltételei a következők:
(1) Oldal-oldal-oldal (SSS) kongruencia-kritérium:

Ha egy háromszög három oldala egyenlő egy másik háromszög megfelelő három oldalával, akkor a háromszögeket kongruensnek mondjuk.

Itt ∆ ABC ≅ ∆ XYZ, mivel AB = XY, BC = YZ és AC = XZ.
(2) Oldal-szög-oldal (SAS) kongruencia-kritérium:

Ha egy háromszög két oldala és a két oldala között foglalt szög egyenlő egy másik háromszög megfelelő két oldalával és a közöttük foglalt szöggel, akkor a háromszögek kongruensek.

Itt ∆ ABC ≅ ∆ XYZ, mivel AB = XY, ∠A = ∠X és AC = XZ.
(3) Szög-oldal-szög (ASA) kongruencia-kritérium: Ha egy háromszög két szöge és a benne foglalt oldal egyenlő egy másik háromszög megfelelő két szögével és a benne foglalt oldalával, akkor a háromszögek kongruensek.

A fenti ábrán ∆ ABD ≅ ∆ CBD, amelyben

∠ABD = ∠CBD, AB = CB és ∠ADB = ∠CDB.
(4) A kongruencia der derékszögű hipotenzus kritériuma: Ha egy derékszögű háromszög hipotenuzája és egyik oldala megegyezik egy másik derékszögű háromszög megfelelő hipotenuzájával és oldalával, akkor a háromszögek kongruensek.

Itt ∠B = ∠Y = 90° és AB = XY, AC = XZ.

Háromszög területe:

A háromszög területét a következő képlet adja meg

Háromszög területe = (1/2) *Bázis * Magasság

Háromszög területének meghatározásához az alaptól az ellentétes csúcsig merőleges egyenest húzunk, amely megadja a háromszög magasságát.

A ∆ PQR területe tehát = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 négyzetméter.

Egy derékszögű háromszög területét könnyű megtalálni, mivel van az alapra merőleges oldal, így azt tekinthetjük magasságnak.

A ∆ XYZ magassága XY, területe pedig (1/2) * XZ * XY négyzetegység.

Most, hogyan találjuk meg egy LMN tompa háromszög területét ?

Egy tompa háromszög esetében meghosszabbítjuk az alapot, és a csúcsból a meghosszabbított alapra merőleges egyenest húzunk, amely a háromszög magassága lesz.

Ezért a ∆ LMN területe = (1/2) * LM * NK négyzetméter. egység.

Roldjuk meg a következő

1)

∆ ABC derékszögű háromszög és CD ⊥ AB (a ⊥ a “merőleges”-t jelenti).

Keresd meg i) ∠ACD és ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. C

Magyarázat:

Megfontolandó ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (mivel a háromszög szögeinek összege 180°)

90 + 65 + ∠ACD. = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

In ∆ BCD, ∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180° (ismét a háromszögben lévő szögek összege)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Határozzuk meg, hogy az alábbiak derékszögű háromszögek-e

A. Mindkettő derékszögű háromszög
B. ∆ ABC nem derékszögű háromszög, ∆ DEF derékszögű háromszög
C. ∆ ABC derékszögű háromszög, ∆ DEF nem derékszögű háromszög
D. Mindkettő nem derékszögű háromszög

Válasz: Mindkettő nem derékszögű háromszög

A válasz: B

Magyarázat:

A Pitagorasz-tételt kielégítő háromszög a derékszögű háromszöget alkotó oldalak halmaza.

3)

Ha ∆ ABC = 3 (∆ DEF), akkor az alábbiak közül melyik helyes?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° ÉS DE = DF = 2 és EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° ÉS DE = DF = 2 és EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° ÉS DE = DF = 2 és EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° ÉS DE = DF = 3 és EF = 3

Válasz: ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° ÉS DE = DF = 3 és EF = 3

Answer: C

Magyarázat:

AB és AC egyenlőek → az egymással ellentétes szögek egyenlőek.

Ezért ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC és ∆ DEF hasonló.