Vektor, a matematikában olyan mennyiség, amelynek nagysága és iránya is van, de helyzete nincs. Ilyen mennyiségek például a sebesség és a gyorsulás. Modern formájukban a vektorok a 19. század végén jelentek meg, amikor Josiah Willard Gibbs és Oliver Heaviside (az Egyesült Államokból és Nagy-Britanniából) egymástól függetlenül kifejlesztették a vektoranalízist, hogy kifejezzék a skót fizikus, James Clerk Maxwell által felfedezett új elektromágneses törvényeket. Azóta a vektorok nélkülözhetetlenné váltak a fizikában, a mechanikában, az elektrotechnikában és más tudományokban az erők matematikai leírására.
A vektorok ábrázolhatók irányított vonalszakaszokként, amelyek hossza a nagyságuk. Mivel egy vektornak csak a nagysága és iránya számít, bármely irányított szakasz helyettesíthető egy ugyanolyan hosszúságú és irányú, de egy másik pontból, például a koordinátarendszer origójából kiinduló szegmenssel. A vektorokat általában vastag betűvel jelölik, például v-vel. A vektor nagyságát vagy hosszát a |v| vagy v jelöli, amely egy skalárnak nevezett egydimenziós mennyiséget (például egy közönséges számot) jelöl. Egy vektor skalárral való szorzása megváltoztatja a vektor hosszát, de nem változtatja meg az irányát, kivéve, hogy a negatív számmal való szorzás megfordítja a vektor nyilának irányát. Például egy vektor 1/2-vel való szorzása egy fele olyan hosszú vektort eredményez, amely ugyanabba az irányba mutat, míg egy vektor -2-vel való szorzása egy kétszer olyan hosszú, de ellentétes irányba mutató vektort eredményez.
Két vektor összeadható vagy kivonható. Például a v és w vektorok grafikus összeadásához vagy kivonásához (lásd az ábrát) mozgassuk mindkettőt az origóhoz, és töltsük ki a két vektor által alkotott parallelogramot; v + w ekkor a parallelogram egyik átlós vektora, v – w pedig a másik átlós vektor.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Két vektor összeszorzásának két különböző módja van. A kereszt- vagy vektorszorzat egy másik vektort eredményez, amelyet v × w-vel jelölünk. A keresztszorzat nagysága a következő: |v × w| = vw sin θ, ahol θ a vektorok közötti kisebb szög (a “farok” egymás mellé helyezésével). A v × w iránya merőleges mind a v-re, mind a w-re, és iránya a jobbkéz-szabállyal szemléltethető, ahogy az ábrán látható. A keresztszorzatot gyakran használják arra, hogy egy felületre valamilyen pontban merőleges “normálist” (egyenest) kapjunk, és előfordul a nyomaték és a mozgó töltött részecskére ható mágneses erő számításánál is.
Encyclopædia Britannica, Inc.
A két vektor összeszorzásának másik módját pontszorzatnak, vagy néha skaláris szorzatnak nevezik, mert skalár eredményt ad. A pontszorzatot a v ∙ w = vw cos θ adja, ahol θ a vektorok közötti kisebb szög. A pontszorzatot két vektor közötti szög meghatározására használjuk. (Megjegyzendő, hogy a pontszorzat nulla, ha a vektorok merőlegesek.) Egy tipikus fizikai alkalmazás a d mozgó tárgyra ható állandó F erő által végzett W munka meghatározása; a munka a következővel adódik: W = Fd cos θ.