Studiet af tal kommer normalt i rækkefølge. Børn starter med de tællende tal. Bevæger sig til de negative hele tal og brøker. Graver sig ned i decimalbrøkerne og fortsætter nogle gange til de reelle tal. De komplekse tal kommer til sidst, hvis de overhovedet kommer. Hver udvidelse af talbegrebet har en gyldig praktisk forklaring.
Negative tal var nødvendige for at løse a + x = b, selv når a > b. Brøkerne hjalp med at løse ax = b, når b ikke var deleligt med a. Indseelsen af eksistensen af reelle tal var et svar på behovet for at løse x² = 2. Og endelig kom de komplekse tal til, da matematikkens udvikling førte til den utænkelige ligning x² = -1. Alt sammen i rette tid.
Den historiske virkelighed var alt for anderledes. Hvor mærkeligt og ulogisk det end kan lyde, så foregik udviklingen og accepten af de komplekse tal parallelt med udviklingen og accepten af negative tal.
Kvadratrødder af negative tal dukkede op i Ars Magna (1545) af Girolamo Cardano, som ville overveje flere former for kvadratiske ligninger (f.eks. x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q), blot for at undgå at bruge negative tal. Hvilket næppe er overraskende i betragtning af, at de værktøjer, som Cardano brugte, normalt beskrives som geometrisk algebra. Dette er dog i traditionen fra f.eks. Euklid II.5 og II.6, Al-Khowarizmi og mange andre. Den algebraiske symbolik var stadig under udvikling og besværlig, og beviserne har været geometriske.
Cardanos indre konflikt er håndgribelig i hans forfatterskab. Han behandler det problem, der i dag ville blive beskrevet som løsningen af den kvadratiske ligning x² – 10x + 40 = 0:
En anden type af den falske stilling gør brug af rødder af negative tal. Jeg vil give et eksempel: Hvis nogen siger til dig: Del 10 i to dele, hvoraf den ene multipliceret med den anden vil give 30 eller 40, er det klart, at denne sag eller dette spørgsmål er umuligt. Ikke desto mindre vil vi løse det på denne måde.
Drevet af enten genialitet eller nysgerrighed går Cardano videre med at løse et umuligt spørgsmål! Da algebraiske manipulationer fører til en kvadratrod af et negativt tal, skriver Cardano:
… Dette er imidlertid tættest på den mængde, der virkelig er imaginær, da man ikke kan udføre operationer med det som med et rent negativt tal, heller ikke som med andre tal. … Denne subtilitet skyldes aritmetik, hvoraf dette sidste punkt som sagt er lige så subtilt som ubrugeligt.
Det næste skridt i vedtagelsen af komplekse tal er blevet taget af Rafael Bombelli i hans Algebra (1572). Han var langt mere fortrolig med negative tal og angav reglerne for håndtering af de underskrevne mængder:
Plus gange plus giver plus
Minus gange minus giver plus
Plus gange minus giver minus
Minus gange plus giver minus
Minus gange plus giver minus.
I relation til de komplekse tal skrev han
… Denne slags kvadratrod har andre aritmetiske operationer end de andre og en anden betegnelse, … Men jeg vil kalde den ‘plus af minus’, når den skal lægges til, og når den skal trækkes fra, vil jeg kalde den ‘minus af minus’, og denne operation er yderst nødvendig. … Dette vil for mange virke mere kunstigt end virkeligt, og jeg var selv af samme opfattelse, indtil jeg fandt den geometriske demonstration …
Derpå giver han reglerne for multiplikation:
Plus af minus gange plus af minus giver minus
Plus af minus gange minus af minus giver plus
Minus af minus gange plus af minus giver plus
Minus af minus gange plus af minus giver plus
Minus af minus gange minus af minus giver minus.
Hvorimod, når han løste kubiske ligninger med tre reelle rødder, ville han udelade negative rødder , stadig ikke betragte de negative som løsning.
John Wallis (1616-1703), som gav den allerførste geometriske fortolkning af komplekse tal, havde en mærkelig tro på, at negative tal var større end uendeligt, men ikke mindre end 0 . Denne tro blev delt af L. Euler. Euler, som brugte komplekse tal i vid udstrækning, som indførte i som symbol for √-1 og forbandt de eksponentielle og trigonometriske funktioner i den berømte formel
eit = cos(t) + i-sin(t),
skrev i sin Introduktion til Algebra
Da alle tænkelige tal enten er større end nul eller mindre end 0 eller lig med 0, er det klart, at kvadratrødderne af negative tal ikke kan indgå blandt de mulige tal . Følgelig må vi sige, at det er umulige tal. Og denne omstændighed fører os til begrebet sådanne tal, som i kraft af deres natur er umulige, og som normalt kaldes imaginære eller indbildte tal, fordi de kun eksisterer i fantasien.
(I øvrigt er det uheldige begreb imaginært med netop en sådan konnotation blevet opfundet af Descartes. Han kaldte også de negative rødder af en ligning for falske, hvilket heldigvis ikke holdt fast). Jean Le Rond d’Alembert gik i sin Encyclopédie (1751 – 1772) helt forbi komplekse og skrev tvetydigt om negative tal
… de algebraiske regler for operationer med negative tal er generelt indrømmet af alle og anerkendt som eksakte, uanset hvilken forestilling vi måtte have om disse størrelser.
Den moderne geometriske fortolkning af komplekse tal blev givet af Caspar Wessel (1745-1818), en norsk landmåler, i 1797. Hans arbejde forblev stort set ukendt, indtil den franske oversættelse udkom i 1897. Han bemærkede korrekt, at man for at kunne rumme komplekse tal må opgive den to-retningslinje :
… retning er ikke et emne for algebra, undtagen i det omfang den kan ændres ved algebraiske operationer. Men da disse ikke kan ændre retning (i det mindste, som det almindeligvis forklares) undtagen til dens modsætning, dvs. fra positiv til negativ eller omvendt, er det de eneste retninger, det burde være muligt at betegne …
Det er ikke et urimeligt krav, at operationer, der anvendes i geometri, skal tages i en bredere betydning end den, der gives til dem i aritmetik.
Wessel behandler komplekse tal som vektorer (uden at bruge udtrykket) og udleder de fleste af deres egenskaber, herunder f.eks. multiplikation i den trigonometriske form, uden at betegne sidstnævnte som algebraisk.
Gauss, der gav et bevis for Algebraens fundamentale sætning i 1799, mente (1825), at “den sande metafysik af √-1 er illusorisk”. Han overvandt sin tvivl i 1831 med anvendelsen af komplekse tal i talteorien, hvilket gav et enormt løft til accepten af komplekse tal i det matematiske samfund. Alligevel var accepten ikke universel. Augustus De Morgan (1806-1871), en berømt matematiker og logiker, skrev i 1831 :
Det imaginære udtryk √-a og det negative udtryk -b har denne lighed, at en af dem, der optræder som løsning af et problem, indikerer en vis inkonsekvens eller absurditet. Hvad angår den reelle betydning, er de begge lige imaginære, da 0 – a er lige så utænkeligt som √-a.
Sir William Hamilton, 9th Baronet, (1805-1865) er ansvarlig for den abstrakte notation (x, y) , som han indførte i 1833. Dette var naturligvis endnu ikke det sidste ord i udviklingen af vores forståelse af de komplekse tal. Komplekse tal kan ses som Hamiltons abstraktioner, som enten punkter eller vektorer i planen, vektoroperatører og dermed matricer af en bestemt form. De tjener som grundlag for en kraftfuld og smuk analytisk funktionsteori med anvendelser fra hydrodynamik til talteori. Vejen til accept har måske været ujævn, men man kan ikke overvurdere den vigtige rolle, som komplekse tal spiller i den moderne matematik. Som J. Hadamard har udtrykt det ,
Den korteste vej mellem to sandheder i det reelle område går gennem det komplekse område.
- H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 1, Oxford University Press, 1972
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
- F. La Nave, Deductive Narrative and Epistemological Function of Belief in Mathematics: On Bombelli and Imaginary Numbers, in Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
- D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
- D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
- F. J. Swetz, From Five Fingers To Infinity, Open Court, 1996 (3. oplag)
Komplekse tal
- Algebraisk struktur af komplekse tal
- Division af komplekse tal
- Nyttige identiteter blandt komplekse tal
- Nyttige uligheder blandt komplekse tal
- Trigonometrisk form af komplekse tal
- Real og kompleks Produkter af komplekse tal
- Komplekse tal og geometri
- Centrale og indskrevne vinkler i komplekse tal
- Planisometrier som komplekse funktioner
- Bemærkninger til de komplekse tals historie
- Første geometriske fortolkning af negative og komplekse tal
- Komplekse tal: en interaktiv dims
- Cartesisk koordinatsystem
- Fundamentalsætning i algebra
- Komplekse tal til en kompleks potens kan være reelle
- Man kan ikke sammenligne to komplekse tal
- Riemann-kugle og Möbius-transformation
- Problemer
- Produkt af diagonaler i regulære N-gon
- Summen af de N-te rødder af enhed
- Napoleons Relativer
- Afstanden mellem ortocenter og cirkumcenter
- To egenskaber ved flanketrekanter – Et bevis med komplekse tal
- Midtpunktsreciprocitet i Napoleons konfiguration
- Orthocenter i kompleks plan
|Kontakt||Forside||Indhold||Algebra|