数の勉強は通常連続して行われる。 子供たちは数を数えることから始める。 負の整数や分数へ移行する。 小数の分数、そして時には実数へと続く。 複雑な数は最後に来る。 9492>

a + x = b を解くのにa > bでも負数が必要であったこと、bがaで割り切れないときにax = bを解くのに分数が役立ったこと、x² = 2を解く必要性に応じて実数の存在に気がついたこと。 そして最後に、数学の進化によって、x² = -1という考えられない方程式が生まれたときに、複素数が登場したのです。

歴史的現実はあまりにも違いました。 奇妙で非論理的に聞こえるかもしれませんが、複素数の発展と受容は負の数の発展と受容と並行して進みました。

負の数の平方根はジローラモ・カルダーノによるArs Magna (1545) に登場し、彼は負の数を使わないためにいくつかの形の二次方程式（例えば、x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q）を検討するようになりました。 カルダーノが使った道具が幾何学的代数学と呼ばれるものであることを考えると、これは驚くには値しない。 これは、ユークリッドII.5とII.6、アル・コワリズミ、その他多くの人々の伝統に沿ったものである。 代数記号はまだ発展途上で面倒であり、証明は幾何学的なものとなっている

カルダーノの内的葛藤は、彼の文章にはっきりと表れている。 彼は、今日では二次方程式x² – 10x + 40 = 0を解くと表現される問題を扱っている：

偽位置の第二のタイプは、負の数の根を利用することである。 例をあげます。 誰かがあなたに、10を2つに分けて、一方を他方に掛けると30または40になると言った場合、このケースまたは質問が不可能であることは明らかである。

天才なのか好奇心なのか、カルダノは不可能な問題を解き明かす！

天才なのか好奇心なのか、カルダノは不可能な問題を解き明かす。 代数学的な操作で負の数の平方根を導き出すと、カルダノはこう書いている：

… しかし、これは、純粋な負の数のように、また他の数のように操作を行うことができないので、真に虚数である量に最も近いものである。 … この微妙さは算術の結果であり、この最後の点は私が言ったように微妙であり、役に立たないものである

複素数の採用における次のステップは、ラファエル・ボンベリによる『代数学』（1572）である。 彼は負の数の方が圧倒的に扱いやすく、符号付きの量を扱う規則を発表した：

プラスのプラスはプラスになる
マイナスのマイナスはプラスになる
プラスのマイナスはマイナスになる
プラスのマイナスでマイナスになる

彼は複素数に関連して、

…と記している。 この種の平方根は他のものとは算術演算が異なり、呼び名も異なる、…。 しかし、足すときは「マイナスのプラス」と呼び、引くときは「マイナスのマイナス」と呼ぶことにし、この操作が最も必要である。 … これは多くの人にとって現実よりも人為的に見えるだろうし、私自身も幾何学的な証明を見つけるまでは同じ意見だった・・・

そして彼は乗法の規則を提供する：

マイナスのプラスにマイナスのプラスをかけるとマイナスになる
マイナスのプラスにマイナスをかけるとプラスになる
マイナスのマイナスにプラスのマイナスをかけるとプラスになる
マイナスのマイナスにマイナスのマイナスでマイナスにしてしまうのである。

しかし、3つの実根を持つ3次方程式を解くとき、彼は負の根を省略し、やはり負のものは解としなかった。

複素数の最初の幾何学的解釈を行ったジョン・ウォリス（1616-1703）は、負の数は無限より大きいが0より小さくはない、という奇妙な信念を抱いていた。 この考え方はL.オイラーも同じであった。 オイラーは複素数を多用し、iを√-1の記号として導入し、指数関数と三角関数を有名な式

eit = cos(t) + i-sin(t) で結び、

Algebra Introductionでこう書いた。「考えられるすべての数は0より大きいか0以下か0に等しいので、負の数の平方根は考えられる数に含まれないことは明白である． したがって、これらは不可能数であると言わざるを得ない。 このような事情から、その性質上不可能な数であり、想像の中にしか存在しないため、通常は虚数または架空数と呼ばれる概念に行き着く。 彼はまた、方程式の負の根を偽と呼んだが、幸いなことに、これは定着しなかった)。 ジャン・ルロン・ダランベールはその百科全書(1751-1772)で、複素数については全く触れず、負の数については曖昧に書いている

…The algebraic rules of operation with negative numbers are generally admitted by everyone and acknowledged as exact, whatever idea we have about this quantities.

複合数の現代の幾何学的解釈は1797年にノルウェー人測量士カスパーヴェッセル (1745-1818) によって行われた。 彼の研究は、1897年にフランス語の翻訳が出るまでほとんど知られていなかった。 彼は、複素数に対応するためには、2つの方向線：

ウェッセルは複素数をベクトルとして扱い（この用語を使用せず）、その特性のほとんどを導き出し、例えば三角形の形式での乗算を含め、後者を代数的と指定することはなかった。

1799年に代数の基本定理の証明を与えたガウスは、”√-1の真の形而上学は捉えがたい “と考えた（1825年）。 彼は、1831年に複素数の数論への応用でその疑念を克服し、数学界に複素数を受け入れることに大きな弾みをつけた。 しかし、その受容は普遍的なものではなかった。 有名な数学者であり論理学者であったオーガスタス・デ・モーガン（1806-1871）は、1831年に次のように書いている：

虚数式√-aと負式-bはこのように類似しており、どちらかが問題の解として現れることは、何らかの矛盾や不条理を表している。 0 – a は √-a と同様に考えられないので、現実の意味としてはどちらも等しく虚数である。

Sir William Hamilton, 9th Baronet (1805-1865) は、1833年に導入した (x, y) という抽象表記法の責任者である。 もちろん、これは複素数の理解の進化における最後の言葉ではありませんでした。 複素数はハミルトンの抽象化したもので、平面上の点またはベクトル、ベクトル演算子、したがって特定の形式の行列と見ることができる。 複素数は、流体力学から整数論まで応用できる強力で美しい解析的関数論の基礎となる。 複素数が受け入れられるまでの道のりは険しかったかもしれないが、現代数学において複素数が果たしている重要な役割は過大評価できない。 ハダマードが言ったように、

実領域の二つの真理を結ぶ最短経路は複素領域を通る。

1. H. イーブス、Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
2. M. クライン、数学的思考 古代から近代まで、v． 1, Oxford University Press, 1972
3. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
4. F. La Nave, Deductive Narrative and Epistemological Function of Belief in Mathematics: ボンベリと虚数について，Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
5. D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
6. D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
7. F. J. J. Swetz, From Five Fingers To Infinity, オープンコート, 1996年（第3刷）

複素数

1. 複素数の代数的構造
2. 複素数の除法複素数の便利な恒等式
3. 複素数の便利な不等式
4. 複素数の三角形
5. 実数と複素数の形
6. 複素数と幾何学
   • 複素数における中心角と内接角
7. 複素関数としての平面等値
8. 複素数の歴史についての発言
   • 負数と複素数の最初の幾何学的解釈
9. 複素数.の歴史
10. カルタス座標系
11. 代数学の基本定理
12. 複素数の複素数乗は実数かもしれない
13. 二つの複素数を比較できない
14. リーマン球とメビウス変換
15. 問題
    • 正N-角形の対数積(2)
    • 正N-角形の対数積は実数かもしれない。gon
    • 単項のN根の和
    • ナポレオンの親族
    • 直心と周心の距離
    • 側面三角形の二つの性質—。 複素数による証明
    • ナポレオンの配置における中点逆位
    • 複素平面における震源

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