El estudio de los números suele ser sucesivo. Los niños comienzan con los números para contar. Pasan a los enteros negativos y a las fracciones. Profundizan en las fracciones decimales y, a veces, continúan con los números reales. Los números complejos llegan en último lugar, si es que lo hacen. Cada expansión de la noción de números tiene una explicación práctica válida.
Los números negativos fueron necesarios para resolver a + x = b, incluso cuando a > b. Las fracciones ayudaron a resolver ax = b, cuando b no era divisible por a. La comprensión de la existencia de los reales fue una respuesta a la necesidad de resolver x² = 2. Y finalmente, los números complejos surgieron cuando la evolución de las matemáticas llevó a la impensable ecuación x² = -1. Todo a su debido tiempo.
La realidad histórica fue muy diferente. Por extraño e ilógico que parezca, el desarrollo y la aceptación de los números complejos procedió en paralelo al desarrollo y la aceptación de los números negativos.
Las raíces cuadradas de los números negativos aparecieron en el Ars Magna (1545) de Girolamo Cardano, quien consideraría varias formas de ecuaciones cuadráticas (por ejemplo, x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q) sólo para evitar el uso de números negativos. Lo que no es de extrañar si se tiene en cuenta que las herramientas que utilizó Cardano suelen describirse como álgebra geométrica. Esto sigue la tradición de, por ejemplo, Euclides II.5 y II.6, Al-Khowarizmi , y muchos otros. El simbolismo algebraico era todavía evolutivo y engorroso y las pruebas han sido geométricas.
El conflicto interno de Cardano es tangible en su escritura. Maneja el problema que hoy en día se describiría como la resolución de la ecuación cuadrática x² – 10x + 40 = 0:
Un segundo tipo de la posición falsa hace uso de raíces de números negativos. Voy a dar un ejemplo: Si alguien te dice, divide 10 en dos partes, una de las cuales multiplicada por la otra dará 30 o 40, es evidente que este caso o pregunta es imposible. Sin embargo, lo resolveremos así.
¡Impulsado por el genio o la curiosidad, Cardano pasa a resolver una cuestión imposible! Cuando las manipulaciones algebraicas conducen a una raíz cuadrada de un número negativo, Cardano escribe:
… Esta, sin embargo, es la que más se acerca a la cantidad verdaderamente imaginaria, ya que con ella no se pueden realizar operaciones como con un número negativo puro, ni como en otros números. … Esta sutileza resulta de la aritmética, de la que este punto final es, como he dicho, tan sutil como inútil.
El siguiente paso en la adopción de los números complejos lo dio Rafael Bombelli en su Álgebra (1572). Se sentía mucho más cómodo en torno a los números negativos y anunció las reglas de manejo de las cantidades con signo:
Más por más hace más
Menos por menos hace más
Más por menos hace menos
Menos por más hace menos.
En relación con los números complejos escribió
… Esta clase de raíz cuadrada tiene operaciones aritméticas diferentes de las otras y una denominación distinta, … Pero la llamaré ‘más de menos’ cuando haya que sumar, y cuando haya que restar la llamaré ‘menos de menos’, y esta operación es la más necesaria. … Esto les parecerá a muchos más artificial que real, y yo mismo tenía la misma opinión, hasta que encontré la demostración geométrica …
Entonces proporciona las reglas de la multiplicación:
Más de menos por más de menos hace menos
Más de menos por menos de menos hace más
Menos de menos por más de menos hace más
Menos de menos por menos de menos hace menos.
Sin embargo, cuando resolvía ecuaciones cúbicas con tres raíces reales, omitía las raíces negativas, sin considerarlas como solución.
John Wallis (1616-1703), que dio la primera interpretación geométrica de los números complejos, tenía la extraña creencia de que los números negativos eran mayores que el infinito pero no menores que 0 . Esta creencia era compartida por L. Euler. Euler, que utilizó ampliamente los números complejos, que introdujo i como símbolo de √-1 y vinculó las funciones exponencial y trigonométrica en la famosa fórmula
eit = cos(t) + i-sin(t),
escribió en su Introducción al Álgebra
Debido a que todos los números concebibles son mayores que cero o menores que 0 o iguales a 0, entonces está claro que las raíces cuadradas de los números negativos no pueden incluirse entre los números posibles . En consecuencia, debemos decir que son números imposibles. Y esta circunstancia nos lleva al concepto de tales números, que por su naturaleza son imposibles, y que ordinariamente se denominan números imaginarios o fantasiosos, porque sólo existen en la imaginación.
(Por cierto, el desafortunado término imaginario con exactamente tal connotación ha sido acuñado por Descartes. También llamó falsas a las raíces negativas de una ecuación que, afortunadamente, no se pegó). Jean Le Rond d’Alembert, en su Encyclopédie (1751 – 1772), pasó por completo de los complejos y escribió ambiguamente sobre los números negativos
… las reglas algebraicas de la operación con los números negativos son generalmente admitidas por todos y reconocidas como exactas, cualquiera que sea la idea que se tenga de estas cantidades.
La interpretación geométrica moderna de los números complejos fue dada por Caspar Wessel (1745-1818), un topógrafo noruego, en 1797. Su obra permaneció prácticamente desconocida hasta que apareció la traducción francesa en 1897. Observó correctamente que para acomodar los números complejos hay que abandonar la línea de dos direcciones :
… la dirección no es un tema para el álgebra, excepto en la medida en que puede ser cambiada por operaciones algebraicas. Pero como éstas no pueden cambiar la dirección (al menos, como se explica comúnmente) sino a su opuesto, es decir, de positivo a negativo, o viceversa, éstas son las únicas direcciones que debería ser posible designar …
No es una exigencia irrazonable que las operaciones utilizadas en geometría se tomen en un sentido más amplio que el que se les da en aritmética.
Wessel trata los números complejos como vectores (sin usar el término) y deriva la mayoría de sus propiedades, incluyendo, por ejemplo, la multiplicación en la forma trigonométrica, sin designar ésta como algebraica.
Gauss, que dio una demostración del Teorema Fundamental del Álgebra en 1799, pensaba (1825) que «la verdadera metafísica de √-1 es ilusoria.» Superó sus dudas en 1831 con la aplicación de los números complejos a la Teoría de Números, lo que dio un tremendo impulso a la aceptación de los números complejos en la comunidad matemática. Aun así, la aceptación no fue universal. Augustus De Morgan (1806-1871), un famoso matemático y lógico escribió en 1831 :
La expresión imaginaria √-a y la expresión negativa -b tienen esta semejanza, que cualquiera de ellas que ocurra como solución de un problema indica alguna inconsistencia o absurdo. En cuanto al significado real, ambas son igualmente imaginarias, ya que 0 – a es tan inconcebible como √-a.
Sir William Hamilton, 9º Baronet, (1805-1865) es el responsable de la notación abstracta (x, y) , que introdujo en 1833. Por supuesto, ésta no fue la última palabra en la evolución de nuestra comprensión de los números complejos. Los números complejos pueden considerarse abstracciones de Hamilton, ya sean puntos o vectores en el plano, operadores vectoriales y, por tanto, matrices de una forma específica. Sirven de base para una potente y bella teoría de funciones analíticas con aplicaciones desde la hidrodinámica hasta la teoría de números. El camino hacia la aceptación puede haber sido accidentado, pero no se puede sobrestimar el importante papel que desempeñan los números complejos en las matemáticas modernas. Como dijo J. Hadamard,
El camino más corto entre dos verdades en el dominio real pasa por el dominio complejo.
- H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 1, Oxford University Press, 1972
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
- F. La Nave, Deductive Narrative and Epistemological Function of Belief in Mathematics: On Bombelli and Imaginary Numbers, en Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
- D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
- D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
- F. J. Swetz, From Five Fingers To Infinity, Open Court, 1996 (3ª impresión)
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