Das Studium der Zahlen kommt gewöhnlich nacheinander. Kinder beginnen mit den zählenden Zahlen. Sie gehen zu den negativen ganzen Zahlen und Brüchen über. Sie beschäftigen sich mit den Dezimalbrüchen und gehen manchmal zu den reellen Zahlen über. Die komplexen Zahlen kommen, wenn überhaupt, zuletzt. Jede Erweiterung des Zahlenbegriffs hat eine gültige praktische Erklärung.
Negative Zahlen wurden benötigt, um a + x = b zu lösen, auch wenn a > b war. Die Brüche halfen bei der Lösung von ax = b, wenn b nicht durch a teilbar war. Die Erkenntnis der Existenz der reellen Zahlen war eine Antwort auf die Notwendigkeit, x² = 2 zu lösen. Und schließlich kamen die komplexen Zahlen auf, als die Entwicklung der Mathematik zu der unvorstellbaren Gleichung x² = -1 führte. Alles zu seiner Zeit.
Die historische Realität war viel zu unterschiedlich. So seltsam und unlogisch es auch klingen mag, die Entwicklung und Akzeptanz der komplexen Zahlen verlief parallel zur Entwicklung und Akzeptanz der negativen Zahlen.
Quadratwurzeln aus negativen Zahlen tauchten in Ars Magna (1545) von Girolamo Cardano auf, der verschiedene Formen quadratischer Gleichungen (z.B. x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q) in Betracht zog, nur um die Verwendung negativer Zahlen zu vermeiden. Das ist kaum verwunderlich, wenn man bedenkt, dass die Werkzeuge, die Cardano verwendete, gewöhnlich als geometrische Algebra bezeichnet werden. Dies steht noch in der Tradition von z. B. Euklid II.5 und II.6, Al-Khowarizmi, und vielen anderen. Die algebraische Symbolik war noch in der Entwicklung begriffen und umständlich, und die Beweise waren geometrisch.
Cardanos innerer Konflikt ist in seinen Schriften spürbar. Er behandelt das Problem, das man heute als Lösung der quadratischen Gleichung x² – 10x + 40 = 0 bezeichnen würde:
Eine zweite Art der Fehlstellung macht Gebrauch von Wurzeln aus negativen Zahlen. Ich gebe ein Beispiel: Wenn jemand zu dir sagt, teile 10 in zwei Teile, von denen einer mit dem anderen multipliziert 30 oder 40 ergeben soll, ist es offensichtlich, dass dieser Fall oder diese Frage unmöglich ist. Dennoch werden wir sie auf diese Weise lösen.
Getrieben von Genie oder Neugierde, geht Cardano dazu über, eine unmögliche Frage zu lösen! Als algebraische Manipulationen zu einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl führen, schreibt Cardano:
… Diese aber kommt der Menge am nächsten, die wirklich imaginär ist, da man mit ihr weder wie mit einer reinen negativen Zahl, noch wie mit anderen Zahlen operieren kann. … Diese Spitzfindigkeit ergibt sich aus der Arithmetik, deren letzter Punkt, wie gesagt, ebenso spitzfindig wie unbrauchbar ist.
Den nächsten Schritt bei der Übernahme der komplexen Zahlen machte Rafael Bombelli in seiner Algebra (1572). Er fühlte sich im Umgang mit negativen Zahlen weitaus wohler und verkündete die Regeln für den Umgang mit den vorzeichenbehafteten Größen:
Plus mal Plus macht Plus
Minus mal Minus macht Plus
Plus mal Minus macht Minus
Minus mal Plus macht Minus.
In Bezug auf die komplexen Zahlen schrieb er
… Diese Art von Quadratwurzel hat andere arithmetische Operationen als die anderen und eine andere Bezeichnung, … Aber ich werde sie ‚Plus von Minus‘ nennen, wenn sie zu addieren ist, und wenn sie zu subtrahieren ist, werde ich sie ‚Minus von Minus‘ nennen, und diese Operation ist sehr notwendig. … Dies wird vielen mehr künstlich als wirklich erscheinen, und ich selbst war der gleichen Meinung, bis ich die geometrische Demonstration fand …
Er liefert dann die Regeln der Multiplikation:
Plus von Minus mal Plus von Minus macht Minus
Plus von Minus mal Minus von Minus macht Plus
Minus von Minus mal Plus von Minus macht Plus
Minus von Minus mal Minus von Minus macht Minus.
Beim Lösen von kubischen Gleichungen mit drei reellen Wurzeln ließ er jedoch die negativen Wurzeln weg und betrachtete sie nicht als Lösung.
John Wallis (1616-1703), der die allererste geometrische Interpretation der komplexen Zahlen gab, vertrat die seltsame Ansicht, dass negative Zahlen größer als unendlich, aber nicht kleiner als 0 seien. Dieser Glaube wurde von L. Euler geteilt. Euler, der die komplexen Zahlen ausgiebig nutzte, i als Symbol für √-1 einführte und die exponentiellen und trigonometrischen Funktionen in der berühmten Formel
eit = cos(t) + i-sin(t),
schrieb in seiner Einführung in die Algebra
Da alle denkbaren Zahlen entweder größer als Null oder kleiner als 0 oder gleich 0 sind, ist es klar, dass die Quadratwurzeln der negativen Zahlen nicht zu den möglichen Zahlen gehören können. Folglich müssen wir sagen, dass es sich um unmögliche Zahlen handelt. Und dieser Umstand führt uns zu dem Begriff solcher Zahlen, die ihrer Natur nach unmöglich sind und gewöhnlich imaginäre oder eingebildete Zahlen genannt werden, weil sie nur in der Vorstellung existieren.
(Übrigens wurde der unglückliche Begriff imaginär mit genau dieser Bedeutung von Descartes geprägt. Er bezeichnete auch die negativen Wurzeln einer Gleichung als falsch, was zum Glück nicht hängen blieb.) Jean Le Rond d’Alembert überging in seiner Encyclopédie (1751 – 1772) die komplexen Zahlen völlig und schrieb zweideutig über die negativen Zahlen
… die algebraischen Regeln für den Umgang mit negativen Zahlen werden im Allgemeinen von allen anerkannt und als exakt angesehen, welche Vorstellung wir auch immer von diesen Mengen haben mögen.
Die moderne geometrische Interpretation der komplexen Zahlen wurde 1797 von Caspar Wessel (1745-1818), einem norwegischen Landvermesser, gegeben. Sein Werk blieb bis zum Erscheinen der französischen Übersetzung im Jahr 1897 nahezu unbekannt. Er stellte richtig fest, dass man, um den komplexen Zahlen Rechnung zu tragen, die zwei Richtungslinien aufgeben muss:
… die Richtung ist kein Thema für die Algebra, es sei denn, sie kann durch algebraische Operationen geändert werden. Da diese aber die Richtung nicht ändern können (wenigstens nicht, wie allgemein erklärt wird), außer in ihr Gegenteil, d.h. vom Positiven ins Negative oder umgekehrt, so sind dies die einzigen Richtungen, die man bezeichnen kann …
Es ist keine unvernünftige Forderung, dass die in der Geometrie verwendeten Operationen in einer weiteren Bedeutung genommen werden, als die, die ihnen in der Arithmetik gegeben wird.
Wessel behandelt die komplexen Zahlen als Vektoren (ohne den Begriff zu verwenden) und leitet die meisten ihrer Eigenschaften ab, einschließlich z.B. der Multiplikation in der trigonometrischen Form, ohne diese als algebraisch zu bezeichnen.
Gauß, der 1799 einen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra lieferte, meinte (1825), dass „die wahre Metaphysik von √-1 illusorisch ist.“ Er überwand seine Zweifel 1831 mit der Anwendung der komplexen Zahlen auf die Zahlentheorie, was der Akzeptanz der komplexen Zahlen in der mathematischen Gemeinschaft einen enormen Schub gab. Dennoch war die Akzeptanz nicht universell. Augustus De Morgan (1806-1871), ein berühmter Mathematiker und Logiker, schrieb 1831:
Der imaginäre Ausdruck √-a und der negative Ausdruck -b haben diese Ähnlichkeit, dass jeder von ihnen, der als Lösung eines Problems auftritt, auf eine Inkonsistenz oder Absurdität hinweist. Was die reale Bedeutung betrifft, so sind beide gleichermaßen imaginär, da 0 – a ebenso undenkbar ist wie √-a.
Sir William Hamilton, 9. Baronet, (1805-1865) ist verantwortlich für die abstrakte Schreibweise (x, y), die er 1833 einführte. Dies war natürlich noch nicht das letzte Wort in der Entwicklung unseres Verständnisses der komplexen Zahlen. Die komplexen Zahlen können als Hamiltons Abstraktionen betrachtet werden, entweder als Punkte oder Vektoren in der Ebene, als Vektoroperatoren und somit als Matrizen einer bestimmten Form. Sie dienen als Grundlage für eine leistungsfähige und schöne analytische Funktionentheorie mit Anwendungen von der Hydrodynamik bis zur Zahlentheorie. Der Weg zur Akzeptanz mag holprig gewesen sein, aber man kann die wichtige Rolle, die die komplexen Zahlen in der modernen Mathematik spielen, gar nicht hoch genug einschätzen. Wie J. Hadamard es ausgedrückt hat,
der kürzeste Weg zwischen zwei Wahrheiten im realen Bereich führt durch den komplexen Bereich.
- H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 1, Oxford University Press, 1972
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
- F. La Nave, Deductive Narrative and Epistemological Function of Belief in Mathematics: On Bombelli and Imaginary Numbers, in Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
- D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
- D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
- F. J. Swetz, Von fünf Fingern bis zur Unendlichkeit, Open Court, 1996 (3. Auflage)
Komplexe Zahlen
- Algebraische Struktur der komplexen Zahlen
- Division der komplexen Zahlen
- Nützliche Identitäten unter den komplexen Zahlen
- Nützliche Ungleichungen unter den komplexen Zahlen
- Trigonometrische Form der komplexen Zahlen
- Reale und kompl. Produkte komplexer Zahlen
- Komplexe Zahlen und Geometrie
- Zentrale und eingeschriebene Winkel in komplexen Zahlen
- Plane Isometrien als komplexe Funktionen
- Bemerkungen zur Geschichte der komplexen Zahlen
- Erste geometrische Interpretation negativer und komplexer Zahlen
- Komplexe Zahlen: Ein interaktives Gizmo
- Kartesisches Koordinatensystem
- Grundlegender Satz der Algebra
- Komplexe Zahlen in komplexer Potenz können reell sein
- Man kann zwei komplexe Zahlen nicht vergleichen
- Riemannsche Kugel und Möbius-Transformation
- Probleme
- Produkt der Diagonalen im regelmäßigen N-gon
- Summe der N-ten Wurzel der Einheit
- Napoleonische Relativität
- Abstand zwischen Orthozentrum und Zirkumzentrum
- Zwei Eigenschaften von Flankendreiecken – Ein Beweis mit komplexen Zahlen Ein Beweis mit komplexen Zahlen
- Mittelpunktsreziprozität in Napoleons Konfiguration
- Orthozentrum in der komplexen Ebene
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