Lo studio dei numeri viene di solito in successione. I bambini iniziano con i numeri di conteggio. Passano ai numeri interi negativi e alle frazioni. Scavare nelle frazioni decimali e a volte continuare con i numeri reali. I numeri complessi arrivano per ultimi, se non altro. Ogni espansione della nozione di numeri ha una spiegazione pratica valida.
I numeri negativi erano necessari per risolvere a + x = b, anche quando a > b. Le frazioni aiutavano a risolvere ax = b, quando b non era divisibile per a. La realizzazione dell’esistenza dei reali era una risposta alla necessità di risolvere x² = 2. E infine, i numeri complessi sono arrivati quando l’evoluzione della matematica ha portato all’impensabile equazione x² = -1. Tutto a tempo debito.
La realtà storica era troppo diversa. Per quanto strano e illogico possa sembrare, lo sviluppo e l’accettazione dei numeri complessi procedettero parallelamente allo sviluppo e all’accettazione dei numeri negativi.
Le radici quadrate dei numeri negativi apparvero nell’Ars Magna (1545) di Girolamo Cardano, che avrebbe considerato diverse forme di equazioni quadratiche (ad esempio, x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q) proprio per evitare di usare numeri negativi. Il che non è sorprendente se si considera che gli strumenti usati da Cardano sono solitamente descritti come algebra geometrica. Questo è ancora nella tradizione di, diciamo, Euclide II.5 e II.6, Al-Khowarizmi , e molti altri. Il simbolismo algebrico era ancora in evoluzione e ingombrante e le prove sono state geometriche.
Il conflitto interno di Cardano è tangibile nella sua scrittura. Egli tratta il problema che oggi sarebbe descritto come la soluzione dell’equazione quadratica x² – 10x + 40 = 0:
Un secondo tipo di posizione falsa fa uso di radici di numeri negativi. Farò un esempio: Se qualcuno vi dice: dividete 10 in due parti, una delle quali moltiplicata nell’altra produrrà 30 o 40, è evidente che questo caso o domanda è impossibile. Tuttavia, lo risolveremo in questo modo.
Spinto dal genio o dalla curiosità, Cardano risolve una questione impossibile! Quando le manipolazioni algebriche portano alla radice quadrata di un numero negativo, Cardano scrive:
… Questa, però, è la più vicina alla quantità che è veramente immaginaria, poiché le operazioni non possono essere eseguite con essa come con un numero negativo puro, né come negli altri numeri. … Questa sottigliezza deriva dall’aritmetica di cui questo punto finale è come ho detto tanto sottile quanto inutile.
Il passo successivo nell’adozione dei numeri complessi è stato fatto da Rafael Bombelli nella sua Algebra (1572). Egli era di gran lunga più a suo agio con i numeri negativi e annunciò le regole di gestione delle quantità firmate:
Più volte più fa più
Meno volte meno fa più
Più volte meno fa meno
Meno volte più fa meno.
In relazione ai numeri complessi egli scrisse
… Questo tipo di radice quadrata ha operazioni aritmetiche diverse dalle altre e una denominazione diversa, … Ma la chiamerò ‘più di meno’ quando deve essere aggiunta, e quando deve essere sottratta la chiamerò ‘meno di meno’, e questa operazione è la più necessaria. … Questo sembrerà a molti più artificiale che reale, e io stesso ho avuto la stessa opinione, finché ho trovato la dimostrazione geometrica …
Poi fornisce le regole della moltiplicazione:
Più di meno per più di meno fa meno
Più di meno per meno di meno fa più
Meno di meno per più di meno fa più
Meno di meno per meno di meno fa meno.
Tuttavia, quando risolveva equazioni cubiche con tre radici reali, ometteva le radici negative, continuando a non considerare quelle negative come soluzione.
John Wallis (1616-1703), che diede la prima interpretazione geometrica dei numeri complessi, aveva una strana convinzione che i numeri negativi fossero più grandi dell’infinito ma non meno di 0 . Questa convinzione era condivisa da L. Euler. Euler, che usò ampiamente i numeri complessi, che introdusse i come simbolo di √-1 e collegò le funzioni esponenziale e trigonometrica nella famosa formula
eit = cos(t) + i-sin(t),
scrisse nella sua Introduzione all’algebra
perché tutti i numeri concepibili sono o maggiori di zero o minori di 0 o uguali a 0, allora è chiaro che le radici quadrate dei numeri negativi non possono essere incluse tra i numeri possibili. Di conseguenza dobbiamo dire che si tratta di numeri impossibili. E questa circostanza ci porta al concetto di tali numeri, che per loro natura sono impossibili, e ordinariamente sono chiamati numeri immaginari o fantasiosi, perché esistono solo nell’immaginazione.
(A proposito, lo sfortunato termine immaginario con esattamente una tale connotazione è stato coniato da Cartesio. Ha anche chiamato false le radici negative di un’equazione che, fortunatamente, non si è bloccata). Jean Le Rond d’Alembert, nella sua Encyclopédie (1751 – 1772), passò interamente sopra il complesso e scrisse ambiguamente sui numeri negativi
… le regole algebriche di funzionamento con i numeri negativi sono generalmente ammesse da tutti e riconosciute come esatte, qualunque idea si possa avere su queste quantità.
La moderna interpretazione geometrica dei numeri complessi fu data da Caspar Wessel (1745-1818), un geometra norvegese, nel 1797. Il suo lavoro rimase praticamente sconosciuto fino a quando la traduzione francese apparve nel 1897. Egli osservò correttamente che per accogliere i numeri complessi si deve abbandonare la linea delle due direzioni:
… la direzione non è un argomento per l’algebra se non nella misura in cui può essere modificata da operazioni algebriche. Ma poiché queste non possono cambiare direzione (almeno, come comunemente spiegato) se non al suo opposto, cioè da positivo a negativo, o viceversa, queste sono le uniche direzioni che dovrebbe essere possibile designare …
Non è una richiesta irragionevole che le operazioni usate in geometria siano prese in un significato più ampio di quello dato loro in aritmetica.
Wessel tratta i numeri complessi come vettori (senza usare il termine) e deriva la maggior parte delle loro proprietà, compresa, per esempio, la moltiplicazione nella forma trigonometrica, senza designare quest’ultima come algebrica.
Gauss, che diede una prova del Teorema fondamentale dell’algebra nel 1799, pensava (1825) che “la vera metafisica di √-1 è illusoria”. Superò i suoi dubbi nel 1831 con l’applicazione dei numeri complessi alla Teoria dei Numeri, che diede una spinta enorme all’accettazione dei numeri complessi nella comunità matematica. Tuttavia, l’accettazione non era universale. Augustus De Morgan (1806-1871), un famoso matematico e logico scrisse nel 1831:
L’espressione immaginaria √-a e l’espressione negativa -b hanno questa somiglianza, che l’una o l’altra che si verifica come soluzione di un problema indica qualche incoerenza o assurdità. Per quanto riguarda il significato reale, entrambi sono ugualmente immaginari, poiché 0 – a è inconcepibile quanto √-a.
Sir William Hamilton, 9° baronetto, (1805-1865) è responsabile della notazione astratta (x, y), che introdusse nel 1833. Questo naturalmente non era ancora l’ultima parola nell’evoluzione della nostra comprensione dei numeri complessi. I numeri complessi possono essere visti come astrazioni di Hamilton, punti o vettori nel piano, operatori vettoriali e, quindi, matrici di forma specifica. Servono come base per una potente e bella teoria delle funzioni analitiche con applicazioni dall’idrodinamica alla teoria dei numeri. La strada verso l’accettazione può essere stata accidentata, ma non si può sopravvalutare il ruolo importante giocato dai numeri complessi nella matematica moderna. Come ha detto J. Hadamard,
il percorso più breve tra due verità nel dominio reale passa attraverso il dominio complesso.
- H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 1, Oxford University Press, 1972
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
- F. La Nave, Narrazione deduttiva e funzione epistemologica della fede in matematica: On Bombelli and Imaginary Numbers, in Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
- D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
- D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
- F. J. Swetz, Da cinque dita all’infinito, Open Court, 1996 (3a stampa)
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