O estudo dos números vem normalmente em sucessão. As crianças começam com os números de contagem. Mova-se para os números inteiros e frações negativos. Cave nas frações decimais e às vezes continue para os números reais. Os números complexos são os últimos, se é que chegam. Cada expansão da noção de números tem uma explicação prática válida.
Número negativo foi necessário para resolver a + x = b, mesmo quando a > b. As frações ajudaram a resolver eixo = b, quando b não era divisível por a. A realização da existência de reais foi uma resposta à necessidade de resolver x² = 2. E finalmente, números complexos surgiram quando a evolução da matemática levou à impensável equação x² = -1. Tudo no devido tempo.
A realidade histórica era muito diferente. Por estranho e ilógico que pareça, o desenvolvimento e aceitação dos números complexos prosseguiu em paralelo com o desenvolvimento e aceitação dos números negativos.
Raízes quadradas de números negativos apareceram em Ars Magna (1545) por Girolamo Cardano, que consideraria várias formas de equações quadráticas (por exemplo, x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q) apenas para evitar o uso de números negativos. O que não é surpreendente tendo em conta que as ferramentas Cardano utilizadas são normalmente descritas como álgebra geométrica. Isto está ainda na tradição de, digamos, Euclides II.5 e II.6, Al-Khowarizmi , e muitos outros. O simbolismo algébrico ainda evoluía e era incómodo e as provas foram geométricas.
O conflito interno de Cardano é tangível na sua escrita. Ele lida com o problema que hoje em dia seria descrito como resolvendo a equação quadrática x² – 10x + 40 = 0:
Um segundo tipo de posição falsa faz uso de raízes de números negativos. Vou dar um exemplo: Se alguém lhe disser, divida 10 em duas partes, uma das quais multiplicada pela outra deve produzir 30 ou 40, é evidente que este caso ou questão é impossível. No entanto, vamos resolver desta forma.
Devido pela genialidade ou curiosidade, Cardano continua a resolver uma questão impossível! Quando as manipulações algébricas levam a uma raiz quadrada de um número negativo, Cardano escreve:
… Isto, entretanto, é o mais próximo da quantidade que é verdadeiramente imaginária, já que as operações não podem ser realizadas com ela como com um número negativo puro, nem como em outros números. … Esta sutileza resulta da aritmética da qual este último ponto é, como já disse, tão sutil quanto inútil.
O próximo passo na adopção de números complexos foi dado por Rafael Bombelli na sua Álgebra (1572). Ele estava de longe mais confortável em torno de números negativos e anunciou as regras de manipulação das quantidades assinadas:
Plus vezes mais faz mais
Minus vezes menos faz mais
Plus vezes menos faz menos
Minus vezes mais faz menos.
Em relação aos números complexos que ele escreveu
… Este tipo de raiz quadrada tem operações aritméticas diferentes das outras e uma denominação diferente, … Mas vou chamá-la de ‘mais de menos’ quando for adicionada, e quando for subtraída, vou chamá-la de ‘menos de menos’, e esta operação é a mais necessária. … Isto parecerá muito mais artificial do que real, e eu próprio tive a mesma opinião, até encontrar a demonstração geométrica …
Dispõe então as regras de multiplicação:
Plus de menos vezes mais de menos faz menos
Plus de menos vezes menos de menos faz mais
Minus de menos vezes mais de menos faz mais
Minus de menos vezes menos faz mais
Minus de menos vezes menos de menos faz menos.
No entanto, ao resolver equações cúbicas com três raízes reais, ele omitiria raízes negativas, ainda não considerando as negativas como solução.
John Wallis (1616-1703), que deu a primeira interpretação geométrica de números complexos, tinha uma estranha crença de que os números negativos eram maiores que o infinito, mas não menos que 0 . Esta crença foi compartilhada por L. Euler. Euler, que usou números complexos extensivamente, que introduziu i como símbolo para √-1 e ligou as funções exponenciais e trigonométricas na famosa fórmula
eit = cos(t) + i-sin(t),
escrito na sua Introdução à Álgebra
Porque todos os números concebíveis são maiores que zero ou menores que 0 ou iguais a 0, então é claro que as raízes quadradas dos números negativos não podem ser incluídas entre os números possíveis . Consequentemente, devemos dizer que estes são números impossíveis. E esta circunstância leva-nos ao conceito de tal número, que pela sua natureza são impossíveis, e normalmente são chamados de números imaginários ou fantasiosos, porque existem apenas na imaginação.
(A propósito, o infeliz termo imaginário com tal conotação foi cunhado por Descartes. Ele também chamou de falsas as raízes negativas de uma equação que, felizmente, não se colou). Jean Le Rond d’Alembert, na sua Encyclopédie (1751 – 1772), passou por cima da complexidade e escreveu ambiguamente sobre números negativos
… as regras algébricas de funcionamento com números negativos são geralmente admitidas por todos e reconhecidas como exactas, qualquer que seja a ideia que tenhamos sobre estas quantidades.
A interpretação geométrica moderna de números complexos foi dada por Caspar Wessel (1745-1818), um agrimensor norueguês, em 1797. Seu trabalho permaneceu praticamente desconhecido até o aparecimento da tradução francesa, em 1897. Ele observou corretamente que para acomodar números complexos é preciso abandonar as duas linhas direcionais:
… a direção não é um assunto para álgebra, exceto na medida em que ela pode ser alterada por operações algébricas. Mas como estas não podem mudar de direcção (pelo menos, como se costuma explicar) excepto para o seu oposto, ou seja, de positivo para negativo, ou vice-versa, estas são as únicas direcções que deve ser possível designar …
Não é uma exigência irrazoável que as operações usadas na geometria sejam tomadas num sentido mais amplo do que o que lhes é dado na aritmética.
Wessel trata números complexos como vectores (sem usar o termo) e deriva a maior parte das suas propriedades, incluindo, digamos, a multiplicação na forma trigonométrica, sem designar esta última como algébrica.
Gauss, que deu uma prova do Teorema Fundamental da Álgebra em 1799, pensou (1825) que “a verdadeira metafísica de √-1 é ilusiva”. Ele superou suas dúvidas até 1831 com a aplicação de números complexos à Teoria dos Números, o que deu um tremendo impulso à aceitação de números complexos na comunidade matemática. Mesmo assim, a aceitação não foi universal. Augustus De Morgan (1806-1871), um famoso matemático e lógico escreveu em 1831 :
A expressão imaginária √-a e a expressão negativa -b têm esta semelhança, que qualquer uma delas ocorrendo como solução de um problema indica alguma inconsistência ou absurdo. Quanto ao significado real, ambas são igualmente imaginárias, já que 0 – a é tão inconcebível como √-a.
Sir William Hamilton, 9º Baronete, (1805-1865) é responsável pela notação abstrata (x, y) , que ele introduziu em 1833. Esta, claro, ainda não foi a última palavra na evolução da nossa compreensão dos números complexos. Números complexos podem ser vistos como abstrações de Hamilton, sejam pontos ou vetores no plano, operadores vetoriais e, portanto, matrizes de uma forma específica. Eles servem como base para uma poderosa e bela teoria da função analítica com aplicações desde a hidrodinâmica até a teoria dos números. O caminho para a aceitação pode ter sido acidentado, mas, não se pode sobrestimar o importante papel desempenhado pelos números complexos na matemática moderna. Como J. Hadamard colocou ,
O caminho mais curto entre duas verdades no domínio real passa pelo domínio complexo.
- H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 1, Oxford University Press, 1972
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
- F. La Nave, Deductive Narrative and Epistemological Function of Belief in Mathematics: On Bombelli and Imaginary Numbers, in Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
- D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
- D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
- F. J. Swetz, From Five Fingers To Infinity, Open Court, 1996 (3ª impressão)
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