Este din nou Ziua Pi (14 martie – care seamănă cu primele cifre ale lui Pi: 3 și 14). Înainte de a intra în celebrarea din acest an a lui pi, permiteți-mi să rezum câteva dintre cele mai importante lucruri despre acest număr minunat.

• În afara SUA, Ziua Pi ar trebui să fie probabil 22 iulie (22/7)-această fracție este o estimare surprinzător de bună a lui pi.
• Puteți găsi valoarea lui pi cu o masă și un resort.
• Valoarea lui pi este legată de câmpul gravitațional local.
• Puteți găsi valoarea lui pi folosind numere aleatoare (aceasta este preferata mea).
• Și în cele din urmă-există o relație între pi, e, 1, 0 și i (numărul imaginar).

Dar astăzi, voi calcula pi cu o integrală numerică. Ce înseamnă asta? Să încep cu un exemplu – cum se găsește aria unei jumătăți de cerc?

Aria unui cerc este pi ori raza la pătrat. Aceasta este o jumătate de cerc cu raza de 1 (fără unități) astfel încât ar avea o arie de pi/2. Dacă găsesc aria printr-o altă metodă, pot să înmulțesc această arie cu 2 și să obțin pi. Acesta este planul.

Dar cum găsiți aria unei forme oarecare – sau a oricărei forme, de altfel? Aici este locul în care calculul vine la îndemână. Pot afla aria semicercului adunând aria mai multor dreptunghiuri. Se pare că este destul de ușor să găsești aria unui dreptunghi. Dați-mi voie să desenez câteva dreptunghiuri în acel semicerc ca să vedeți la ce mă refer.

Aria fiecăruia dintre aceste dreptunghiuri subțiri poate fi găsită cu formula „baza înmulțită cu înălțimea”. Un dreptunghi are o înălțime de „y” și o bază de „dx”, unde dx este doar o lungime arbitrară de-a lungul axei x. Pot găsi valoarea reală a înălțimii pentru că partea de sus a dreptunghiului atinge cercul unde această înălțime poate fi găsită din ecuația unui cerc.

Acum trebuie doar să adun toate aceste dreptunghiuri – bum, aceasta este aria unei jumătăți de cerc. Pot să scriu asta ca o sumă de arii astfel:

Dar așteptați! Nu este aceasta o aproximație slabă a ariei reale a unui cerc (semicerc)? Da, este într-adevăr adevărat – dar depinde foarte mult de lățimea acestor mici dreptunghiuri de suprafață. De fapt, dacă iau limita pe măsură ce lățimea (dx) ajunge la zero, atunci voi obține aria exactă. Aceasta este, de fapt, definiția integralei în calcul – dar voi păstra acest lucru pentru o altă zi. În schimb, vom face un calcul numeric prin simpla adunare a ariei mai multor dreptunghiuri. Desigur, ați putea face acest lucru de mână – dar ar putea deveni plictisitor. În schimb, haideți să facem acest lucru cu un program de calculator. Yup.

Iată calculul numeric în python. Puteți merge mai departe și rula codul apăsând butonul „play”, dar voi da câteva comentarii despre cod mai jos.

Puteți schimba codul dacă vă face fericit – iată câteva lucruri de luat în considerare.

• Acesta este un calcul numeric. Asta înseamnă că programul se ocupă doar de numere. Din punct de vedere tehnic, aria ar trebui să aibă unități de m2 sau ceva de genul acesta, dar nu aici. Doar numere.
• Pentru buclele din python, se include tot ceea ce este legat de tabulație ca parte a buclei. Odată ce se deentează, nu mai face parte dintr-o buclă.
• Linia 18 ar trebui să arate ciudat pentru că așa este. Dacă considerați că aceasta este o ecuație algebrică, A ar trebui să se anuleze, deoarece se află pe ambele părți ale ecuației – dar aceasta nu este o ecuație. În python (și în majoritatea celorlalte limbaje), „=” înseamnă „face egal cu”. Această linie ia vechea valoare a lui A, adaugă lucrurile noi și apoi o transformă în noua valoare a lui A.

Acest calcul inițial are un dx de 0,1. Asta înseamnă că vor fi doar 20 de dreptunghiuri de adunat și se va obține aria semicercului. Cu aceasta, obțin o valoare aproximativă a lui pi de 3,10452 – ceea ce în mod clar nu este pi exact. Bineînțeles că pot face o estimare mai bună făcând dreptunghiuri de lățime mai mică. Ar trebui să încercați acest lucru modificând codul de mai sus (indiciu: schimbați valoarea pentru dx). Cu toate acestea, din moment ce nu pot renunța la acest lucru, iată un grafic al valorii lui pi pentru diferite mărimi ale pasului.

Poate că nu este cel mai bun grafic – dar este suficient de bun pentru moment. Dacă doriți să verificați codul pentru acest grafic, iată-l aici. Dar, în cele din urmă, valoarea se apropie de valoarea așteptată a lui pi. Această metodă s-ar putea să nu vă aducă un milion de cifre ale lui pi, dar poate că cel puțin puteți învăța ceva despre integrare.

.