Pagini conexe
Permutații
Permutații și combinații
Metode de numărare
Lecții de factori
Probabilitate

Ce este o combinație în matematică?

Un aranjament de obiecte în care ordinea nu este importantă se numește combinație. Aceasta este diferită de permutarea în care ordinea contează. De exemplu, să presupunem că aranjăm literele A, B și C. Într-o permutare, aranjamentele ABC și ACB sunt diferite. Dar, într-o combinație, aranjamentele ABC și ACB sunt aceleași, deoarece ordinea nu este importantă.

Ce este formula de combinare?

Numărul de combinații a n lucruri luate r la un moment dat se scrie C(n, r).

Diagrama următoare prezintă formula de combinare. Derulați în josul paginii pentru mai multe exemple și soluții privind modul de utilizare a formulei de combinare.

Dacă nu sunteți familiarizați cu n! (notația factorială n), atunci aruncați o privire pe lecția de factorială

Cum să utilizați formula de combinare pentru a rezolva probleme de cuvinte?

Exemplu:
În câte moduri poate un antrenor să aleagă trei înotători dintre cinci înotători?

Soluție:
Există 5 înotători care trebuie luați câte 3 pe rând.
Utilizând formula:

Antrenorul poate alege înotătorii în 10 moduri.

Exemplu:
Șase prieteni vor să joace destule partide de șah pentru a fi siguri că fiecare joacă cu toți ceilalți. Câte partide vor trebui să joace?

Soluție:
Sunt 6 jucători care vor fi luați câte 2 pe rând.
Utilizând formula:

Aceștia vor trebui să joace 15 partide.

Exemplu:
La o loterie, fiecare bilet are 5 numere de o cifră 0-9 pe el.
a) Câștigi dacă biletul tău are cifrele în orice ordine. Care sunt schimbările pe care le aveți de a câștiga?
b) Ați câștiga numai dacă biletul dumneavoastră are cifrele în ordinea cerută. Care sunt șansele tale de a câștiga?

Soluție:
Există 10 cifre care trebuie luate câte 5 pe rând.

a) Folosind formula:

Șansele de câștig sunt de 1 din 252.

b) Deoarece ordinea contează, ar trebui să folosim permutarea în loc de combinație.
P(10, 5) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240

Șansele de a câștiga sunt de 1 din 30240.

Cum să evaluăm combinații, precum și să rezolvăm probleme de numărare folosind combinații?

O combinație este o grupare sau un subansamblu de elemente. Pentru o combinație, ordinea nu contează.

Câte comitete de 3 pot fi formate dintr-un grup de 4 elevi?
Aceasta este o combinație și poate fi scrisă sub forma C(4,3) sau 4C3 sau \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\3\end{array}} \right)\).

Exemple:

1. Echipa de fotbal are 20 de jucători. Întotdeauna sunt 11 jucători pe teren. Câte grupuri diferite de jucători pot fi pe teren la un moment dat?
2. O studentă mai are nevoie de încă 8 cursuri pentru a-și termina diploma. Dacă a îndeplinit condițiile prealabile pentru toate cursurile, în câte moduri poate urma 4 cursuri în semestrul următor?
3. Într-un birou mic sunt 4 bărbați și 5 femei. Clientul dorește o vizită la fața locului din partea unui grup de 2 bărbați și 2 femei. Câte grupuri diferite se pot forma din birou?

• Arată lecția video

Cum se rezolvă problemele de combinație care implică selectarea grupurilor pe baza unor criterii condiționate?

Exemplu: O găleată conține următoarele bile: 4 roșii, 3 albastre, 4 verzi și 3 galbene, ceea ce face un total de 14 bile. Fiecare bilă este etichetată cu un număr pentru a putea fi distinsă.

1. Câte seturi/grupuri de 4 bile sunt posibile?
2. Câte seturi/grupuri de 4 există astfel încât fiecare să fie de o culoare diferită?
3. Câte seturi/grupuri de 4 există în care cel puțin 2 sunt roșii?
4. Câte seturi de 4 există în care niciunul nu este roșu, dar cel puțin unul este verde?

• Arată lecția video

Cum să rezolvi probleme de cuvinte care implică permutări și combinații?

Exemple:

1. Un muzeu are 7 tablouri de Picasso și vrea să aranjeze 3 dintre ele pe același perete. În câte moduri se poate face acest lucru?
2. În câte moduri se pot aranja literele din cuvântul LOLLIPOP?
3. O persoană care joacă poker primește 5 cărți. Câte mâini diferite ar fi putut primi jucătorul?

• Arată lecția video

Încercați calculatorul gratuit Mathway și rezolvatorul de probleme de mai jos pentru a exersa diverse subiecte de matematică. Încercați exemplele date sau introduceți propria problemă și verificați-vă răspunsul cu ajutorul explicațiilor pas cu pas.