Definiție: Un triunghi este o figură închisă formată din trei segmente de dreaptă.

Un triunghi este format din trei segmente de dreaptă și trei unghiuri. În figura de mai sus, AB, BC, CA sunt cele trei segmente de dreaptă, iar ∠A, ∠B, ∠C sunt cele trei unghiuri.

Există trei tipuri de triunghiuri bazate pe laturi și trei bazate pe unghiuri.

Tipuri de triunghiuri bazate pe laturi

Triunghi echilateral: Un triunghi care are toate cele trei laturi de lungime egală este un triunghi echilateral.

Din moment ce toate laturile sunt egale, toate unghiurile sunt și ele egale.

Triunghiul isoscel: Un triunghi care are două laturi de lungime egală este un triunghi isoscel.

Cele două unghiuri opuse laturilor egale sunt egale.

Triunghiul scalen: Un triunghi care are trei laturi de lungimi diferite se numește triunghi scalen.

Tipuri de triunghiuri bazate pe unghiuri

Triunghi cu unghiuri tăiate: Un triunghi ale cărui unghiuri sunt toate ascuțite se numește triunghi cu unghiuri ascuțite sau triunghi acut.

Triunghi cu unghiuri obtuze: Un triunghi al cărui unghi este obtuz este un triunghi cu unghi obtuz sau triunghi obtuz.

Trigunghi dreptunghic: Un triunghi al cărui unghi este dreptunghic este un triunghi dreptunghic sau triunghi dreptunghic.

În figura de mai sus, latura opusă unghiului dreptunghic, BC se numește ipotenuză.

Pentru un triunghi dreptunghic ABC,

BC2 = AB2 + AC2

Aceasta se numește Teorema lui Pitagora.

În triunghiul de mai sus, 52 = 42 + 32. Numai un triunghi care îndeplinește această condiție este un triunghi dreptunghic.

În consecință, Teorema lui Pitagora ne ajută să aflăm dacă un triunghi este dreptunghic.

Tipuri de triunghiuri

Există diferite tipuri de triunghiuri dreptunghice. Deocamdată, ne concentrăm doar asupra unei perechi speciale de triunghiuri drepte.

1. Triunghiul 45-45-90
2. Triunghiul 30-60-90

Triunghiul 45-45-90:

Un triunghi 45-45-90, după cum indică și numele, este un triunghi dreptunghic în care celelalte două unghiuri sunt de 45° fiecare.

Este un triunghi dreptunghic isoscel.

În ∆ DEF, DE = DF și ∠D = 90°.

Legimile unui triunghi 45-45-90 sunt în raportul 1 : 1 : √2.
Triunghiul 30-60-90:

Un triunghi 30-60-90, după cum indică și numele, este un triunghi dreptunghic în care celelalte două unghiuri sunt de 30° și 60°.

Este un triunghi dreptunghic scalen, deoarece niciuna dintre laturi sau unghiuri nu este egală.

Legumele unui triunghi 30-60-90 sunt în raportul 1 : √3 : 2

Ca orice alt triunghi dreptunghic, aceste două triunghiuri satisfac Teorema lui Pitagora.

Proprietăți de bază ale triunghiurilor

• Suma unghiurilor dintr-un triunghi este 180°. Aceasta se numește proprietatea sumei unghiurilor.
• Suma lungimilor oricăror două laturi ale unui triunghi este mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi. În mod similar, diferența dintre lungimile oricăror două laturi ale unui triunghi este mai mică decât lungimea celei de-a treia laturi.
• Latura opusă celui mai mare unghi este cea mai lungă latură a triunghiului, iar latura opusă celui mai mic unghi este cea mai scurtă latură a triunghiului.


În figura de mai sus, ∠B este cel mai mare unghi, iar latura opusă acestuia (ipotenuza), este cea mai mare latură a triunghiului.



În figura de mai sus, ∠A este cel mai mare unghi, iar latura opusă acestuia, BC, este cea mai mare latură a triunghiului.

• Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma unghiurilor sale opuse interioare. Aceasta se numește proprietatea unghiului exterior al unui triunghi.


În acest caz, ∠ACD este unghiul exterior la ∆ABC.

Conform proprietății unghiului exterior, ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Similaritate și congruență în triunghiuri

Figurile cu aceeași mărime și formă sunt figuri congruente. Dacă două figuri sunt congruente, ele rămân congruente chiar dacă sunt deplasate sau rotite. Formele ar rămâne congruente și dacă reflectăm formele prin producerea unor imagini în oglindă. Două figuri geometrice sunt congruente dacă se acoperă exact una pe cealaltă.

Figurile cu aceeași formă dar cu dimensiuni proporționale sunt figuri asemănătoare. Ele rămân asemănătoare chiar dacă sunt mutate sau rotite.

Similitudinea triunghiurilor

Se spune că două triunghiuri sunt asemănătoare dacă unghiurile corespunzătoare ale celor două triunghiuri sunt congruente și lungimile laturilor corespunzătoare sunt proporționale.

Se scrie ∆ ABC ∼ ∆ XYZ și se spune că ∆ ABC „este asemănător cu” ∆ XYZ.

Aici, ∠A = ∠X, ∠B =∠Y și ∠C = ∠Z ȘI

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

Condițiile necesare și suficiente pentru ca două triunghiuri să fie asemănătoare sunt următoarele:
(1) Criteriul de asemănare Side-Side-Side-Side (SSS):

Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele trei laturi corespunzătoare ale unui alt triunghi, atunci se spune că triunghiurile sunt similare.

Aici, ∆ PQR ∼ ∆ DEF ca

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Criteriul de asemănare Lateral-Angle-Side (SAS):

Dacă cele două laturi corespunzătoare ale celor două triunghiuri sunt proporționale și un unghi inclus este egal cu unghiul inclus corespunzător al unui alt triunghi atunci triunghiurile sunt asemănătoare.

În acest caz, ∆ LMN ∼ ∆ QRS în care

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) Criteriul de asemănare unghi – unghi – unghi (AAA):

Dacă cele trei unghiuri corespunzătoare ale celor două triunghiuri sunt egale, atunci cele două triunghiuri sunt similare.

Aici ∆ TUV ∼ ∆ PQR ca

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q și ∠V = ∠R

Congruența triunghiurilor

Se spune că două triunghiuri sunt congruente dacă toate laturile unui triunghi sunt egale cu laturile corespunzătoare ale altui triunghi și unghiurile corespunzătoare sunt egale.

Se scrie ∆ ABC ≅ ∆ XYZ și se spune că ∆ ABC „este congruent cu” ∆ XYZ.

Condițiile necesare și suficiente pentru ca două triunghiuri să fie congruente sunt următoarele:
(1) Criteriul SSS (Side-Side-Side-Side) pentru congruență:

Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu cele trei laturi corespunzătoare ale unui alt triunghi, atunci se spune că triunghiurile sunt congruente.

Aici, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ deoarece AB = XY, BC = YZ și AC = XZ.
(2) Criteriul de congruență latură – unghi – latură (SAS):

Dacă două laturi și unghiul inclus între cele două laturi ale unui triunghi sunt egale cu cele două laturi corespunzătoare și cu unghiul inclus dintr-un alt triunghi, atunci triunghiurile sunt congruente.

Aici, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ deoarece AB = XY, ∠A = ∠X și AC = XZ.
(3) Criteriul de congruență unghi-lateral-angular (ASA): Dacă două unghiuri și latura inclusă a unui triunghi sunt egale cu cele două unghiuri corespunzătoare și latura inclusă a unui alt triunghi, atunci triunghiurile sunt congruente.

În figura de mai sus, ∆ ABD ≅ ∆ CBD în care

∠ABD = ∠CBD, AB = CB și ∠ADB = ∠CDB.
(4) Criteriul de congruență între unghiuri drepte și ipotenuze: Dacă ipotenuza și o latură a unui triunghi dreptunghic sunt egale cu ipotenuza și latura corespunzătoare ale unui alt triunghi dreptunghic, atunci triunghiurile sunt congruente.

În acest caz, ∠B = ∠Y = 90° și AB = XY, AC = XZ.

Ariza unui triunghi:

Ariza unui triunghi este dată de formula

Ariza unui triunghi = (1/2) *Bază * Înălțime

Pentru a afla aria unui triunghi, tragem o linie perpendiculară de la bază până la vârful opus care dă înălțimea triunghiului.

Așa că aria lui ∆ PQR = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 unități pătrate.

Pentru un triunghi dreptunghic, este ușor de găsit aria, deoarece există o latură perpendiculară pe bază, deci o putem considera ca înălțime.

Înălțimea ∆ XYZ este XY și aria lui este (1/2) * XZ * XY unități pătrate.

Acum, cum găsim aria unui triunghi obtuz LMN ?

Pentru un triunghi obtuz, prelungim baza și tragem o dreaptă perpendiculară de la vârf la baza prelungită, care devine înălțimea triunghiului.

În consecință, aria triunghiului ∆ LMN = (1/2) * LM * NK unități pătrate. unități.

Rezolvați următoarele

1)

∆ ABC este un triunghi dreptunghic și CD ⊥ AB (⊥ înseamnă „perpendiculară”).

Găsește i) ∠ACD și ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35, 25

Răspuns: C

Explicație:

Considerați ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (deoarece suma unghiurilor dintr-un triunghi este 180°)

90 + 65 + ∠ACD = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

În ∆ BCD, ∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180° (din nou, suma tuturor unghiurilor dintr-un triunghi)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Determinați dacă următoarele sunt triunghiuri dreptunghice

A. Ambele sunt triunghiuri dreptunghice
B. ∆ ABC nu este un triunghi dreptunghic, ∆ DEF este un triunghi dreptunghic
C. ∆ ABC este un triunghi dreptunghic, ∆ DEF nu este un triunghi dreptunghic
D. Ambele nu sunt triunghiuri dreptunghice

Răspuns: B

Explicație:

Triplul care satisface teorema lui Pitagora este setul de laturi care formează un triunghi dreptunghic.

3)

Dacă ∆ ABC = 3 (∆ DEF), care dintre următoarele variante este corectă?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° ȘI DE = DF = 2 și EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° ȘI DE = DF = 2 și EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° AND DE = DF = 2 și EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° AND DE = DF = 3 și EF = 3

Răspuns: ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° AND DE = DF = 3 și EF = 3

Răspuns: C

Explicație:

AB și AC sunt egale → unghiurile opuse sunt egale.

Deci ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC și ∆ DEF sunt asemănătoare.

.