Orbitele electronilor unui atom de Heliu.

Figura 1. Forma orbitelor de electroni ale unui atom de Heliu în configurația para-, care corespunde stării fundamentale a unui atom. Orbitele a doi electroni sunt reprezentate cu culori diferite (primul electron – albastru, al doilea electron – verde). Liniile drepte provenite de la nucleu arată direcțiile momentelor orbitale și direcțiile câmpurilor magnetice induse pentru fiecare electron.

Rezumat.

Analiza noastră a orbitei electronice pentru un atom de Heliu repetă mai multe aspecte ale analizei noastre a orbitei electronice a unui atom de Hidrogen, deoarece acestea sunt aceleași tipuri de orbite. Ținând cont de faptul că atomul de Hidrogen are un singur electron, soluția noastră nu a fost strict singura soluție posibilă pentru orbita electronică.

În cazul atomului de Heliu, există o singură soluție pentru doi electroni, care creează atât momente dipolare, cât și cuadripolare. Restricții suplimentare pot fi folosite pentru controlul modelului, deoarece configurațiile orto- și para- ale orbitelor electronice au seturile lor specifice de niveluri de energie.

Prezentăm aici o soluție simplă, precum și o imagine detaliată a orbitelor unui electron în atomul de Heliu. Sunt analizate atât configurațiile para- cât și orto- ale orbitelor de electroni. Explicăm de ce starea fundamentală a unui atom de Heliu nu este cea mai joasă stare de energie.

Expresiile de mecanică cuantică pentru hamiltonienii atât pentru Heliu cât și pentru Hidrogen nu includ termenul de Electrodinamică Maxwell. Câmpurile magnetice induse de electronii în rotație sunt pur și simplu ignorate.

Combinăm Electrodinamica și Mecanica Cuantică pentru a calcula parametrii exacți ai orbitelor.

Principiul Pauli postulează direcțiile de rotație ale electronilor ca fiind în sus și în jos. Acest principiu trebuie să fie postulat în mecanica cuantică, deoarece contrazice atât legea conservării energiei, cât și electrostatica. Noi demonstrăm că direcțiile reale ale spinilor sunt direcții radiale spre centrul nucleului și în afara centrului nucleului. Modelul nostru explică Principiul Pauli, dar nu are nevoie de un postulat.

Momentele orbitale ale electronilor din modelul nostru se aliniază de-a lungul razei orbitelor electronilor. Ele pot avea direcții de apropiere și de îndepărtare față de centrul nucleului. În modelul nostru, spinii electronilor sunt aliniați de-a lungul câmpurilor magnetice create de mișcarea orbitală a electronilor. Spinii electronilor se comportă asemănător cu o busolă, care se aliniază de-a lungul câmpului magnetic mai puternic.

Spectrele energetice complicate ale unui atom de heliu primesc o explicație simplă în termenii a două tipuri de orbite și două seturi de niveluri energetice pentru orto și para- heliu.

Utilizăm mecanica cuantică în același mod în care N. Bohr a folosit-o pentru modelul său al atomului de Hidrogen, dar nu folosim operatori, astfel încât nu suntem legați de caracteristicile statistice ale Principiului Incertitudinii.

În aceeași abordare pe care am folosit-o pentru orbita atomului de Hidrogen nu avem nevoie să folosim Postulatul Orbitalului din Mecanica Cuantică, Postulatul Pauli sau orice alte postulate.

Introducere & Stadiul actual al problemei.

Orbitalii din Mecanica Cuantică indică faptul că densitatea maximă de probabilitate de a găsi un electron într-un atom este localizată în interiorul protonului într-un atom de Hidrogen. Orbitalul electronului este calculat ca o convoluție a formei orbitalului și a formei sugerate experimental a învelișurilor sferice.

Pentru un atom de Heliu, această abordare nu funcționează. De aceea, pe lângă forma circulară a orbitei electronilor, nu se calculează forma reală a orbitei electronilor într-un atom de Heliu.

Experimentele dovedesc că, în cazul unui atom de Heliu, diferența dintre orto-Heliu și para-Heliu nu se limitează la a avea spin opus. Este vorba de configurații diferite ale orbitelor atomice cu seturi diferite de niveluri de energie. Natura acestei diferențe nu este discutată.

În Proiectul 2, vom aborda aceste probleme și vom discuta alte întrebări.

În partea anterioară, am indicat că pentru un atom de Hidrogen abordarea diferențială poate produce mai multe tipuri de soluții. Prezența unui singur electron a făcut destul de dificilă alegerea unei soluții corecte pentru un singur moment dipolar. Doi electroni într-un atom de Heliu creează atât un moment dipolar, cât și unul cvadripolar, precum și restricționarea parametrilor fiecărei părți a orbitei la un singur sfert de sferă. Combinate cu comportamentul nobil în reacțiile chimice, aceste condiții ne oferă posibilitatea de a găsi o soluție unică.

Direcțiile spinilor electronilor.

Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să facem o notă despre direcțiile spinilor și despre termenul de interacțiune spin-orbital.

• Spinele individuale ale electronilor dintr-un atom de Heliu sunt egale cu o jumătate. Spinul total al unui atom de Heliu în stare fundamentală este egal cu zero. Din punct de vedere matematic, aceasta este o sarcină simplă de doi vectori, care are o singură soluție în algebra vectorială. Vectorii de spin trebuie să fie poziționați de-a lungul aceleiași linii și să aibă direcții opuse. Dacă acești vectori nu sunt aliniați de-a lungul aceleiași drepte, suma lor nu va fi egală cu zero. Acești doi vectori vor produce un moment de rotație. Aceasta înseamnă că, în starea fundamentală a unui atom de heliu, vectorii de spin pentru ambii electroni trebuie să fie aliniați de-a lungul liniei care le leagă pozițiile. Pentru starea singlet, direcțiile spinilor sunt opuse. Această afirmație este strict corectă pentru atomii de para-Heliu. Pentru o configurație orto- Heliu, situația este puțin mai complicată și o vom analiza mai jos.

Să ne uităm mai jos la direcțiile spinilor electronilor.

Figura 2a. Suma vectorilor de spin aliniați de-a lungul aceleiași linii în direcții opuse are ca rezultat un spin total egal cu zero în modelul nostru.

Figura 2b. Suma vectorilor de spini ascendenți și descendenți ai electronilor nu este egală cu zero. Combinarea acestor spini are ca rezultat un nou moment de rotație în modelul care utilizează principiul lui Pauli.

Vectorii de spin al electronilor au o natură magnetică. Ei se comportă asemănător cu o busolă, ceea ce înseamnă că se aranjează de-a lungul unui câmp magnetic mai puternic, creat de mișcarea orbitală a electronilor. Acest lucru ne duce la concluzia că vectorii magnetici ai momentelor orbitale din modelul nostru ar trebui să fie, de asemenea, direcționați spre centrul nucleului.

Călătoria continuă a unui electron de-a lungul traiectoriei sale induce câmpuri magnetice. În modelul nostru, patru câmpuri magnetice opuse sunt create pe lungimea unei runde a orbitei unui electron. Aceste câmpuri sunt egale ca amplitudine.

Atomul de heliu.

Pentru atomul de heliu vom folosi același model pe care l-am folosit pentru atomul de hidrogen. Singura diferență este sarcina dublă a nucleului și cele două ale electronilor pe orbită.

Energia unui electron în mișcare poate fi exprimată din mecanica clasică și cuantică astfel:

$\frac {m {\ } v^2}{2}{2} = h \cdot f \cdot n$ (1).

În această formulă $m$ – este masa electronului, $v$ – este viteza electronului, $h$ – este constanta lui Planck, $f$ – este frecvența unei unde electronice și $n$ este un număr întreg.

Ecuația (1) reprezintă diferența dintre „rotatorul rigid” din mecanica cuantică și modelul nostru. Noi considerăm fiecare particulă cu unda sa individuală, mai degrabă decât două sau trei particule cu o singură undă combinată. În modelul nostru, undele ar trebui să interfereze între ele, dar nu pot fi pur și simplu adunate.

De aceea, formula (1) este scrisă pentru fiecare electron individual și este aceeași pentru atomii de Hidrogen sau Heliu.

Lungimea a patru hemi-sfere trebuie să fie egală cu:

$L = 4 {\ } \pi {\} r = n \cdot \lambda$ (2).

Frecvența de rotație orbitală a electronului poate fi găsită ca fiind viteza electronului împărțită la lungimea orbitei:

$f = \frac {v}{L} = \frac {v}{4 {\ } \pi {\\ }r}$ (3).

Substituind frecvența din (3) în (1) se va obține:

$\frac {m {\ } v^2}{2} = h {\ } \frac {v {\\ } n }{4 {\ } \pi {\\ } r} = \frac {\hbar {\ } v {\ } n}{2 {\ } r} $ (4a).

Utilizăm constanta Planck redusă $\hbar = \frac {h}{2 \pi}$ în expresia (4a).

Ca urmare a ecuației (4) am obținut expresia pentru momentul orbital al electronilor:

$m {\ } v {\ } r = \hbar \cdot n$ (4).

Expresia (4) înseamnă că momentul orbital al electronilor este egal cu numărul întreg, înmulțit cu constanta Planck redusă. Această expresie este aceeași cu cea pe care am obținut-o pentru atomul de Hidrogen și înseamnă că nu avem nevoie de postulatul momentului orbital pentru atomul de Heliu. Această concluzie va fi importantă și pentru alți atomi din tabelul periodic care au în structura lor orbite electronice de tip $s$.

În analiza noastră a formei orbitei electronice a atomului de Hidrogen am ajuns la concluzia că nu există o soluție numerică pentru tipul de orbită în care vectorii câmpurilor magnetice induse sunt paraleli sau perpendiculari pe axele $x, y, z$. O astfel de configurație a orbitei ar contrazice rezultatul ecuației (4).

Soluția pentru ecuația lui Faraday

$\oint E \cdot ds = – \frac{\partial \Phi _{mag}}{\partial t}$ (5)

am găsit sub forma traiectoriei eliptice a electronului, proiectată pe suprafața sferică.

Figura 3. Orbita electronilor pentru configurația orto- a atomului de heliu.

Figura 4. Orbita electronilor pentru configurația para- a atomului de Heliu. Electronul verde se deplasează de-a lungul liniei albastre. Electronul albastru se deplasează de-a lungul liniei verzi. Acest lucru a fost făcut pentru un contrast mai bun. Liniile drepte arată direcția câmpurilor induse.

În configurația para-, configurația orbitelor, precum și pozițiile electronilor în orice moment de timp prezintă o simetrie sferică de tip punctiform. Aceasta înseamnă că linia dreaptă care leagă pozițiile electronilor, va traversa întotdeauna centrul nucleului.

Procedura pentru a găsi parametrii traiectoriei electronilor este aceeași pe care am folosit-o pentru atomul de hidrogen. Trebuie să găsim valorile a trei parametri, care definesc traiectoria eliptică a electronilor în atomul de Heliu și vom exprima aceste valori în unități de măsură ale razei orbitei electronilor.

Primim cu configurația orto-.

Deși valorile pentru acești parametri, exprimate în unități de rază, sunt cele similare cu expresiile pentru atomul de Hidrogen, valorile reale pentru atomul de Heliu sunt diferite:

$a = 0.707 \cdot r = \frac {1,414 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $, $b = 1.252 \cdot r = \frac {2.504 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $ (6).

Energia ionului de heliu, atunci când pe orbită a rămas un singur electron, este aceeași cu cea calculată în modelul lui Bohr:

$E_0 = \frac {m \cdot e^4}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot h^2} = 54,4 eV$ (7).

Acest rezultat este bine cunoscut și nu are nevoie de interpretări suplimentare.

În cazul unui atom de heliu cu doi electroni care orbitează în jurul nucleului, începem cu calculele privind lungimea orbitei.

Lungimea orbitei este egală cu:

$L = \pi \cdot =4 \pi r$ (8).

În calculele noastre am folosit formula lui Ramanujan pentru lungimea elipsei.

Aceste orbite au trei parametri $a, b$ și $r$. Similar cu atomul de hidrogen, valorile pentru parametrii $a$ și $b$ pot fi exprimate în unitățile de măsură ale razei sferice $r$ a orbitei ca:

$a = 0,707 \cdot r$, $b = 1,252 \cdot r$ (9).

Funcția, care reprezintă traiectoria electronului, precum și derivata acestei funcții, sunt continue și nu prezintă singularități.

Pentru doi electroni de pe suprafața sferei, există un echilibru între forța Coulomb și forța centripetă:

$\frac{2 {\ } e^2}{4{\ } \pi {\ }\ }\epsilon_0 {\ } r^2} = \frac{2 m {\ } v^2}{r} $ (10).

Viteza electronului poate fi exprimată din (10) ca:

$v = \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} } $ (11).

Formula (8) garantează că expresia pentru momentul orbital este corectă:

$m \cdot v \cdot r = n \cdot \hbar$ (12).

Combinația dintre (11) și (12) ne dă raza suprafeței sferice a orbitei electronului:

$m \cdot r {\ } \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} } = n \cdot \hbar$ (13).

$m^2 \cdot r^2 {\ } \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} = n^2 \cdot \hbar^2 $ (14).

$m {\ } r {\ } e^2 $=$ 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2 $ (15).

$r = \frac {4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2}{m {\ } e^2}$ (16).

Energia a doi electroni pe orbita heliului poate fi calculată astfel:

$E = 2 \cdot \frac {m {\ } v^2}{2}$ (17).

Puterea a doua a vitezei electronilor poate fi exprimată din (11) ca:

$v^2 = \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ } m} = \frac {e^2 \cdot e^2 \cdot m}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } m {\ } 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2} = \frac {e^4}{4 {\ } {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} $ (18).

Am folosit expresia (16) pentru raza orbitei electronice.

Din ecuația (17), valoarea energiei stărilor electronice ar fi egală cu:

$E = \frac {m {\ }e^4}{4 {\ } {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} = 27,2 eV $ (19).

Această valoare este energia pentru cea mai joasă stare a atomului de heliu în configurația orto-. Această cantitate de energie este necesară pentru ca un electron să ajungă la nivelul de ionizare. Dacă marcăm energia de ionizare în vid ca fiind zero, atunci această energie ar trebui să fie negativă.

Formula (27) descrie spectrul nivelurilor de energie ale atomului de Heliu într-o configurație orto-. Alte niveluri de energie ale orto- heliului pentru $n > 1$, precum și tranzițiile între acestea ar trebui să fie observabile în spectrele heliului, cu condiția ca metoda de excitare care ia în considerare tranzițiile interzise de spin între starea fundamentală singlet para- heliu și stările excitate triplet orto- heliu. În condiții normale, cu o sursă optică de excitație, spectrul liniilor orto- Heliu este practic invizibil.

Această stare orto- a atomului de Heliu nu poate fi starea fundamentală, deoarece atât momentul orbital cât și spinul atomului în această stare nu sunt egale cu zero. Aceasta înseamnă că atomul de Heliu în această stare ar fi foarte reactiv și comportamentul său ar fi similar cu cel al unui atom de Hidrogen.

Starea fundamentală a gazului inerțial monoatomic de heliu aparține para-statului de heliu.

Para-Heliu.

Figura 5 de mai jos prezintă configurația para a orbitei unui electron al unui atom de heliu. Orbitele unui electron sunt reprezentate în albastru și a altui electron în verde. Aceste orbite posedă un punct de simetrie în centrul nucleului. În orice moment, doi electroni ocupă poziții pe laturile opuse ale diametrului orbitelor electronilor. Direcțiile momentelor orbitale, precum și direcțiile câmpurilor magnetice induse sunt indicate prin patru linii roșii pentru un electron și prin patru linii verzi pentru un alt electron. Unghiul dintre oricare două linii de aceeași culoare este de aproximativ 109,47 grade. Direcțiile a două momente și a două câmpuri magnetice pentru fiecare electron sunt spre centrul sferei, iar alți doi vectori au direcții îndepărtate de centrul sferei.

Figura 5. Orbitele electronilor unui atom de heliu în configurația para-.

Figura 5 prezintă orbitele electronilor în configurația para a unui atom de Heliu. Electronii verzi și albaștri sunt situați la laturile opuse ale diametrului orbitei lor. Orbitele lor sunt simetrice în raport cu poziția protonului. Direcțiile câmpului magnetic indus sunt reprezentate de liniile verzi și albastre.

Pentru configurația para a orbitelor unui electron, spinul total, momentele orbitale, precum și integralele câmpului electric și ale câmpului magnetic indus sunt egale cu zero.

Ca urmare, un atom de Heliu în configurația para a orbitei ocupă o stare energetică stabilă și nu este nevoie de nicio interacțiune externă pentru a compensa momentele orbitale și câmpurile de spin neechilibrate. Acesta este motivul pentru care atomii de heliu în configurația para sunt nobili, gaz monoatomic & inerțial.

Pentru a afla valoarea energiei în configurația para, trebuie să înmulțim valoarea energiei unui electron într-o configurație orto cu coeficientul vectorului steric (vezi paragraful următor):

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0,909 $ (20).

Energia stării fundamentale a unui atom de heliu este egală cu energia celei mai joase stări din configurația para-:

$E_0 = 27,2 \cdot \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24,7 eV$ (21).

Acest rezultat este în concordanță cu valoarea experimentală pentru energia de ionizare a primului electron al unui atom de Heliu, care este egală cu $E_{ionizare} = 24,6 eV$. Diferența de energii de aproximativ $\Delta E = 0,1 eV$ ar trebui să fie atribuită interacțiunii spin-spin.

Deși în starea fundamentală, un atom de Heliu există doar în configurația para-. Stările excitate ale ambelor configurații pot fi observate în datele spectrale, deși tranzițiile între aceste două stări nu pot fi observate în cazul excitației optice deoarece sunt interzise de spin. Excitația electronică ar rezolva această problemă și ar fi posibilă observarea nivelurilor pentru ambele stări.

Calculele coeficientului vectorului steric pentru para- Heliu.

În calculele noastre ale momentului orbital al electronului, am folosit principiul independenței componentelor ortogonale ale mișcării unui electron. Fără o declarație specială, am presupus că componentele care sunt ortogonale componentei orbitale, nu dau nici o contribuție la energia totală a electronilor dintr-un atom de Heliu. Am calculat energia a două sisteme de electroni ca și cum energia totală este combinată ca o funcție scalară a razei orbitei și am neglijat caracterul vectorial al componentelor unghiulare ale traiectoriei unui electron.

Din punctul de vedere al mecanicii clasice, o astfel de abordare pare justificată, deoarece doi electroni dintr-un atom de Heliu sunt poziționați la capetele opuse ale diametrului orbitelor lor. Același argument ar putea fi spus și pentru Mecanica Cuantică, care reprezintă electronii ca un nor distribuit, unde pozițiile fiecărui electron nu pot fi definite sau determinate.

Dar calculele noastre se bazează pe Electrodinamică.

Energia unui electron într-un câmp electric poate fi calculată ca potențial de câmp înmulțit cu sarcina electronului:

$Energie = E \cdot e$ (22).

Această expresie descrie energia potențială. Ea va deveni energia electronului după ce electronul parcurge distanța de-a lungul câmpului cu un astfel de potențial.

Conform formulei lui Faraday, câmpul magnetic indus de sarcinile în mișcare este egal cu:

$\oint E \cdot ds = – \frac{\partial \Phi _{mag}}{\partial t}$ (23).

Această formulă a lui Faraday ne oferă posibilitatea de a produce regulile de adunare a expresiilor vectoriale, care sunt proporționale cu energiile fiecărui electron. În loc de o integrală tridimensională a unui câmp electric, vom găsi suma vectorilor câmpurilor magnetice induse pentru primul electron și vectorul câmpului magnetic indus pentru al doilea electron, deoarece aceste valori sunt direct proporționale. Apoi vom folosi coeficientul steric pe care îl găsim pentru vectorii magnetici induși pentru a combina energia electronilor.

Valoarea energiei pentru fiecare electron din ecuația (24) este egală cu jumătate din energia totală, pe care am găsit-o pentru configurația orto- a atomului de Heliu:

$E_1 = E_2 = \frac {27.2}{2} $ (24).

Energia a două sisteme de electroni va fi egală cu energia primului electron plus energia celui de-al doilea electron, înmulțită cu coeficientul vectorului steric:

$Energie = E_1 +k \cdot E_2 = \frac {1}{2} \cdot (E_1+k \cdot E_2)$ (24).

Câmpurile magnetice induse pentru fiecare electron dintr-un atom de Heliu au geometria cubului cu unghiurile de 109,47 grade între direcțiile câmpurilor magnetice induse. Aceasta înseamnă că fiecare vector al câmpului magnetic indus poate fi reprezentat printr-o linie de la centrul cubului până la un colț neadiacent al cubului:

Figura 6. ilustrează cazul a doi electroni cu orbitele lor având simetrie punctiformă în centrul cubului.

Sfera roșie reprezintă nucleul de Heliu. Liniile roșii arată direcția câmpului magnetic indus pentru un electron. Liniile verzi arată direcția câmpurilor magnetice induse pentru celălalt electron. Dintre cei patru vectori pentru fiecare electron, doi vectori au direcția spre nucleu, iar ceilalți doi vectori au direcția spre colțul cubului.

Corectul steric poate fi calculat din figura 6. Dacă presupunem că lungimea laturii cubului este de 2a unități, atunci lungimea diagonalelor AO și BO ar fi egală cu:

$AO = BO = a \cdot \sqrt 3$ (26).

Mijlocita sumă a acestor două momente sau linia OC are lungimea:

$OC= \frac {1}{2} (AO + BO) = a \cdot \sqrt 2$ (27).

Înseamnă că pentru a adăuga momentul vectorial al unui al doilea electron la vectorul primului electron este necesar să se înmulțească vectorul celui de-al doilea electron cu coeficientul steric:

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0,908 $ (24).

$E_{para} = \frac {1}{2} \cdot (E_1 + E_2 \cdot \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24,7 eV$ (27).

*************************