Studium čísel přichází obvykle postupně. Děti začínají s počítáním čísel. Přecházejí k záporným celým číslům a zlomkům. Proniknou do desetinných zlomků a někdy pokračují k reálným číslům. Komplexní čísla přicházejí na řadu jako poslední, pokud vůbec. Každé rozšíření pojmu čísla má platné praktické vysvětlení.

Záporné číslo bylo potřeba k řešení a + x = b, i když a > b. Zlomky pomohly vyřešit ax = b, když b nebylo dělitelné a. Uvědomění si existence reálných čísel bylo odpovědí na potřebu vyřešit x² = 2. A konečně komplexní čísla se objevila, když vývoj matematiky vedl k nemyslitelné rovnici x² = -1. Vše mělo svůj čas.

Historická realita byla příliš odlišná. Jakkoli to může znít podivně a nelogicky, vývoj a přijetí komplexních čísel probíhal souběžně s vývojem a přijetím záporných čísel.

Kvadratické kořeny záporných čísel se objevily v Ars Magna (1545) Girolama Cardana, který by uvažoval o několika tvarech kvadratických rovnic (např. x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q) jen proto, aby nemusel používat záporná čísla. Což není nijak překvapivé vzhledem k tomu, že nástroje, které Cardano používal, se obvykle označují jako geometrická algebra. To je ještě v tradici například Euklida II.5 a II.6, Al-Khowarizmiho , a mnoha dalších. Algebraická symbolika se stále vyvíjela a byla těžkopádná a důkazy byly geometrické.

Cardanův vnitřní konflikt je v jeho spisech hmatatelný. Řeší problém, který bychom dnes označili jako řešení kvadratické rovnice x² – 10x + 40 = 0:

Druhý typ falešné polohy využívá kořeny záporných čísel. Uvedu příklad: Pokud vám někdo řekne, rozdělte 10 na dvě části, z nichž jedna vynásobená druhou dá 30 nebo 40, je zřejmé, že tento případ nebo otázka je nemožná. Přesto ji vyřešíme tímto způsobem.“

Poháněn buď genialitou, nebo zvědavostí, Cardano pokračuje v řešení nemožné otázky! Když algebraické manipulace vedou k odmocnině ze záporného čísla, Cardano píše:

…. To je však nejblíže veličině, která je skutečně imaginární, protože s ní nelze provádět operace jako s čistě záporným číslem, ani jako u jiných čísel. … Tato jemnost vyplývá z aritmetiky, jejíž poslední bod je, jak jsem již řekl, stejně jemný jako zbytečný.

Další krok k přijetí komplexních čísel učinil Rafael Bombelli ve své Algebře (1572). Ten se daleko lépe orientoval v záporných číslech a vyhlásil pravidla zacházení se znaménkovými veličinami:

Plus krát plus tvoří plus
Minus krát minus tvoří plus
Plus krát minus tvoří minus
Minus krát plus tvoří minus.

V souvislosti s komplexními čísly napsal

…. Tento druh odmocniny má jiné aritmetické operace než ostatní a jiné označení, … Ale budu ji nazývat „plus mínus“, když se má sčítat, a když se má odečítat, budu ji nazývat „minus mínus“, a tato operace je nejpotřebnější. … Mnohým se to bude zdát spíše umělé než skutečné, a sám jsem byl téhož názoru, dokud jsem nenašel geometrickou ukázku…

Poté uvádí pravidla násobení:

Plus mínus krát plus mínus tvoří minus
Plus mínus krát minus mínus tvoří plus
Minus mínus krát plus mínus tvoří plus
Minus mínus krát minus mínus tvoří minus.

Při řešení kubických rovnic se třemi reálnými kořeny však záporné kořeny vynechával , přesto záporné nepovažoval za řešení.

John Wallis (1616-1703), který podal vůbec první geometrický výklad komplexních čísel, zastával zvláštní názor, že záporná čísla jsou větší než nekonečno, ale ne menší než 0 . Toto přesvědčení sdílel i L. Euler. Euler, který hojně používal komplexní čísla, zavedl i jako symbol pro √-1 a spojil exponenciální a trigonometrické funkce ve slavném vzorci

eit = cos(t) + i-sin(t),

ve svém Úvodu do algebry napsal

Protože všechna myslitelná čísla jsou buď větší než nula, nebo menší než 0, nebo rovna 0, pak je jasné, že odmocniny záporných čísel nelze zahrnout mezi možná čísla . V důsledku toho musíme říci, že se jedná o nemožná čísla. A tato okolnost nás vede k pojmu takových čísel, která jsou ze své podstaty nemožná a obvykle se nazývají imaginární nebo fantazijní čísla, protože existují pouze v představách.

(Mimochodem, nešťastný termín imaginární s přesně takovou konotací vymyslel Descartes. Nazýval jimi také záporné kořeny rovnice, které se naštěstí neuchytily). Jean Le Rond d’Alembert ve své Encyklopedii (1751-1772) komplexní čísla zcela pominul a o záporných číslech psal nejednoznačně

… algebraická pravidla operací se zápornými čísly obecně všichni uznávají a uznávají jako přesná, ať už máme o těchto veličinách jakoukoli představu.

Moderní geometrický výklad komplexních čísel podal v roce 1797 norský zeměměřič Caspar Wessel (1745-1818). Jeho práce zůstala prakticky neznámá, dokud se v roce 1897 neobjevil francouzský překlad. Správně poznamenal, že pro pojmutí komplexních čísel je třeba opustit dvousměrnou přímku :

Wessel zachází s komplexními čísly jako s vektory (aniž by použil tento termín) a odvozuje většinu jejich vlastností, včetně například násobení v trigonometrickém tvaru, aniž by je označil za algebraické.

Gauss, který v roce 1799 podal důkaz Základní věty algebry, se domníval (1825), že „pravá metafyzika √-1 je iluzorní“. Své pochybnosti překonal v roce 1831 aplikací komplexních čísel na teorii čísel, která znamenala obrovský impuls pro přijetí komplexních čísel v matematické komunitě. Přesto toto přijetí nebylo všeobecné. Augustus De Morgan (1806-1871), slavný matematik a logik, v roce 1831 napsal :

Maginární výraz √-a a záporný výraz -b mají tu podobnost, že výskyt kteréhokoli z nich jako řešení úlohy naznačuje nějakou nesrovnalost nebo absurditu. Pokud jde o reálný význam, jsou oba stejně imaginární, protože 0 – a je stejně nemyslitelné jako √-a.

Sir William Hamilton, 9. baronet, (1805-1865) je zodpovědný za abstraktní zápis (x, y) , který zavedl v roce 1833. To samozřejmě ještě nebylo poslední slovo ve vývoji našeho chápání komplexních čísel. Komplexní čísla lze chápat jako Hamiltonovy abstrakce, buď body, nebo vektory v rovině, vektorové operátory, a tedy matice určitého tvaru. Slouží jako základ mocné a krásné analytické teorie funkcí s aplikacemi od hydrodynamiky po teorii čísel. Cesta k jejich přijetí byla možná hrbolatá, ale důležitou roli, kterou komplexní čísla v moderní matematice hrají, nelze přeceňovat. Jak řekl J. Hadamard ,

Nejkratší cesta mezi dvěma pravdami v reálném oboru prochází komplexním oborem.

1. H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
2. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, sv. 1, Oxford University Press, 1972
3. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
4. F. La Nave, Deductive Narrative and Epistemological Function of Belief in Mathematics: D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
5. D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
6. F. J. Nave: On Bombelli and Imaginary Numbers, in: Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
7. D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
8. F. J. Swetz, Od pěti prstů k nekonečnu, Open Court, 1996 (3. vydání)

Komplexní čísla

1. Algebraická struktura komplexních čísel
2. Dělení komplexních čísel
3. Užitečné identity mezi komplexními čísly
4. Užitečné nerovnosti mezi komplexními čísly
5. Trigonometrický tvar komplexních čísel
6. Reálná a komplexní čísla. Součin komplexních čísel
7. Komplexní čísla a geometrie
   • Střední a vepsané úhly v komplexních číslech
8. Rovinné izometrie jako komplexní funkce
9. Poznámky k historii komplexních čísel
   • První geometrická interpretace záporných a komplexních čísel
10. Komplexní čísla: Interaktivní gizmo
11. Kartézský souřadnicový systém
12. Základní věta algebry
13. Komplexní číslo na komplexní mocninu může být reálné
14. Nelze porovnat dvě komplexní čísla
15. Riemannova sféra a Möbiova transformace
16. Problémy
    • Produkt úhlopříček v pravidelném N-gonu
    • Součet N-tých kořenů jednoty
    • Napoleonovi příbuzní
    • Vzdálenost mezi ortocentrem a cirkumcentrem
    • Dvě vlastnosti flankovacích trojúhelníků -. Důkaz pomocí komplexních čísel
    • Středová reciprocita v Napoleonově konfiguraci
    • Orthocentr v komplexní rovině

|Kontakt|||Přední strana||Obsah||Algebra|