En kvadratisk ligning med reelle eller komplekse koefficienter har to løsninger, kaldet rødder. Disse to løsninger kan være forskellige eller ej, og de kan være reelle eller ej.
Factoring ved inspektionRediger
Det kan være muligt at udtrykke en kvadratisk ligning ax2 + bx + c = 0 som et produkt (px + q)(rx + s) = 0. I nogle tilfælde er det muligt ved simpel inspektion at bestemme værdier af p, q, r og s, der gør de to former ækvivalente med hinanden. Hvis den kvadratiske ligning er skrevet i den anden form, siger “nulfaktoregenskaben”, at den kvadratiske ligning er opfyldt, hvis px + q = 0 eller rx + s = 0. Løsning af disse to lineære ligninger giver rødderne i den kvadratiske ligning.
For de fleste elever er faktorregning ved inspektion den første metode til løsning af kvadratiske ligninger, som de bliver udsat for.:202-207 Hvis man får en kvadratisk ligning på formen x2 + bx + c = 0, har den søgte faktorisering formen (x + q)(x + s), og man skal finde to tal q og s, der tilsammen giver b, og hvis produkt er c (dette kaldes undertiden “Vietas regel” og er relateret til Vietas formler). Som eksempel kan nævnes, at x2 + 5x + 6 faktoriseres som (x + 3)(x + 2). Det mere generelle tilfælde, hvor a ikke er lig med 1, kan kræve en betydelig indsats med at gætte og kontrollere ved forsøg og fejl, hvis man antager, at det overhovedet kan faktoriseres ved inspektion.
Med undtagelse af særlige tilfælde som f.eks. hvor b = 0 eller c = 0, fungerer faktorisering ved inspektion kun for kvadratiske ligninger, der har rationelle rødder. Det betyder, at langt de fleste kvadratiske ligninger, der opstår i praktiske anvendelser, ikke kan løses ved faktorisering ved inspektion.:207
Fuldstænding af kvadratetRediger
Processen med at fuldende kvadratet gør brug af den algebraiske identitet
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}
som repræsenterer en veldefineret algoritme, der kan bruges til at løse enhver kvadratisk ligning.:207 Med udgangspunkt i en kvadratisk ligning i standardform, ax2 + bx + c = 0
- Divider hver side med a, koefficienten for det kvadrerede udtryk.
- Subtraher det konstante udtryk c/a fra begge sider.
- Tilføj kvadratet på halvdelen af b/a, koefficienten for x, til begge sider. Dette “fuldender kvadratet” og omdanner venstre side til et perfekt kvadrat.
- Skriv venstre side som et kvadrat, og forenkl evt. højre side.
- Skab to lineære ligninger ved at sætte lighedstegn mellem kvadratroden af venstre side og de positive og negative kvadratrødder af højre side.
- Løs hver af de to lineære ligninger.
Vi illustrerer brugen af denne algoritme ved at løse 2×2 + 4x – 4 = 0
1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}
2 ) x 2 + 2 x = 2 {\displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}
3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}
4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {\displaystyle 4)\ \ venstre(x+1\højre)^{2}=3}
5 ) x + 1 = ± 3 {\displaystyle 5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}}}
6 ) x = – 1 ± 3 {\displaystyle 6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}}}
Plus-minus-symbolet “±” angiver, at både x = -1 + √3 og x = -1 – √3 er løsninger på den kvadratiske ligning.
Kvadratisk formel og dens udledningRediger
Ved at fuldende kvadratet kan man udlede en generel formel til løsning af kvadratiske ligninger, kaldet den kvadratiske formel. Det matematiske bevis vil nu kort blive opsummeret. Det kan let ses ved polynomialudvidelse, at følgende ligning er ækvivalent med den kvadratiske ligning:
( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . {\displaystyle \left(x+{{\frac {b}{2a}}}\right)^{2}={{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}
Tager man kvadratroden af begge sider og isolerer x, får man:
x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}{2a}}}.}
Somlige kilder, især ældre kilder, anvender alternative parameteriseringer af den kvadratiske ligning som f.eks. ax2 + 2bx + c = 0 eller ax2 – 2bx + c = 0 , hvor b har en størrelse, der er halvt så stor som den mere almindelige, eventuelt med modsat fortegn. Disse resulterer i lidt forskellige former for løsningen, men er ellers ækvivalente.
Der findes en række alternative afledninger i litteraturen. Disse beviser er enklere end standardmetoden med at fuldende kvadratet, repræsenterer interessante anvendelser af andre hyppigt anvendte teknikker i algebra, eller giver indsigt i andre områder af matematikken.
En mindre kendt kvadratisk formel, som anvendes i Mullers metode giver de samme rødder via ligningen
x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c . {\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}
Dette kan udledes af den kvadratiske standardformel ved hjælp af Vietas formler, som hævder, at produktet af rødderne er c/a.
En egenskab ved denne form er, at den giver én gyldig rod, når a = 0, mens den anden rod indeholder division med nul, for når a = 0, bliver den kvadratiske ligning til en lineær ligning, som har én rod. I modsætning hertil har den mere almindelige formel i dette tilfælde en division med nul for den ene rod og en ubestemt form 0/0 for den anden rod. På den anden side, når c = 0, giver den mere almindelige formel to korrekte rødder, mens denne form giver nulroden og en ubestemt form 0/0.
Reduceret kvadratisk ligningRediger
Det er undertiden praktisk at reducere en kvadratisk ligning, så dens ledende koefficient er én. Dette gøres ved at dividere begge sider med a, hvilket altid er muligt, da a er ikke er nul. Dette giver den reducerede kvadratiske ligning:
x 2 + p x + q = 0 , {\displaystyle x^{2}+px+q=0,}
hvor p = b/a og q = c/a. Denne moniske ligning har de samme løsninger som den oprindelige.
Den kvadratiske formel for løsningerne til den reducerede kvadratiske ligning, skrevet i form af dens koefficienter, er:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {\displaystyle x={\frac {1}{2}}}\left(-p\pm {\sqrt {\sqrt {p^{2}-4q}}}\right),}
eller tilsvarende:
x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . {\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}}\right)^{2}-q}}}.}
DiscriminantEdit
I den kvadratiske formel kaldes udtrykket under kvadratrodstegnet for den kvadratiske lignings diskriminant, og det repræsenteres ofte ved hjælp af et stort D eller et græsk delta med stor bogstav:
Δ = b 2 – 4 a c . {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}
En kvadratisk ligning med reelle koefficienter kan have enten én eller to forskellige reelle rødder eller to forskellige komplekse rødder. I dette tilfælde bestemmer diskriminanten antallet og arten af rødderne. Der er tre tilfælde:
- Hvis diskriminanten er positiv, så er der to forskellige rødder
– b + Δ 2 a og – b – Δ 2 a , {\displaystyle {\frac {\frac {-b+{{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}\quad {\text{og}}}\quad {\frac {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}},}
som begge er reelle tal. For kvadratiske ligninger med rationelle koefficienter gælder det, at hvis diskriminanten er et kvadrattal, så er rødderne rationelle – i andre tilfælde kan de være kvadratiske irrationaler.
- Hvis diskriminanten er nul, så er der præcis én reel rod
– b 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}},}
undertiden kaldet en gentagen eller dobbeltrod.
- Hvis diskriminanten er negativ, så er der ingen reelle rødder. I stedet er der to forskellige (ikke-reelle) komplekse rødder
– b 2 a + i – Δ 2 a og – b 2 a – i – Δ 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}}\quad {\text{og}}}\quad -{\frac {b}{2a}}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}},}
som er komplekse konjugater af hinanden. I disse udtryk er i den imaginære enhed.
Dermed er rødderne adskilte, hvis og kun hvis diskriminanten er ikke-nul, og rødderne er reelle, hvis og kun hvis diskriminanten er ikke-negativ.
Geometrisk fortolkningRediger
- Rødder og y-intercept i rødt
- Spids og symmetriakse i blåt
- Fokus og retningslinje i lyserødt
Funktionen f(x) = ax2 + bx + c er en kvadratisk funktion. Grafen for enhver kvadratisk funktion har den samme generelle form, som kaldes en parabel. Parablens placering og størrelse, og hvordan den åbner sig, afhænger af værdierne af a, b og c. Som vist i figur 1, hvis a > 0, har parablen et minimumspunkt og åbner sig opad. Hvis a < 0, har parablen et maksimumspunkt og åbner sig nedad. Parablens yderpunkt, uanset om det er minimum eller maksimum, svarer til dens toppunkt. Toppunktets x-koordinat vil være placeret ved x = – b 2 a {\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}}
, og toppunktets y-koordinat kan findes ved at indsætte denne x-værdi i funktionen. Y-skæringspunktet er placeret i punktet (0, c).
Løsningerne til den kvadratiske ligning ax2 + bx + c = 0 svarer til rødderne af funktionen f(x) = ax2 + bx + c, da de er de værdier af x, for hvilke f(x) = 0. Som vist i figur 2, hvis a, b og c er reelle tal, og f’s domæne er mængden af reelle tal, så er rødderne af f netop x-koordinaterne af de punkter, hvor grafen berører x-aksen. Som vist i figur 3, hvis diskriminanten er positiv, berører grafen x-aksen i to punkter; hvis den er nul, berører grafen ét punkt; og hvis den er negativ, berører grafen ikke x-aksen.
Kvadratisk faktoriseringRediger
The term
x – r {\displaystyle x-r}
er en faktor af polynomiet
a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}
hvis og kun hvis r er en rod i den kvadratiske ligning
a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
Det følger af den kvadratiske formel, at
a x 2 + b x + c = a ( x – – – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – – b – b 2 – 4 a c 2 a ) . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{{2}-4ac}}}}{2a}}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{{2}-4ac}}}}{2a}}}\right).}
I det specielle tilfælde b2 = 4ac, hvor det kvadratiske polynomium kun har én bestemt rod (dvs. diskriminanten er nul), kan det kvadratiske polynomium faktoriseres som
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}
Grafisk løsningRedigér
Løsningerne til den kvadratiske ligning
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
kan udledes af grafen for den kvadratiske funktion
y = a x 2 + b x + c , {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
som er en parabel.
Hvis parablen skærer x-aksen i to punkter, er der to reelle rødder, som er x-koordinaterne i disse to punkter (også kaldet x-skæringspunktet).
Hvis parablen tangerer x-aksen, er der en dobbeltrod, som er x-koordinaten for kontaktpunktet mellem grafen og parablen.
Hvis parablen ikke skærer x-aksen, er der to komplekse konjugerede rødder. Selv om disse rødder ikke kan visualiseres på grafen, kan deres reelle og imaginære dele visualiseres.
Lad h og k være henholdsvis x-koordinaten og y-koordinaten for toppunktet af parablen (dvs. punktet med maksimal eller minimal y-koordinat. Den kvadratiske funktion kan omskrives
y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}
Lad d være afstanden mellem punktet med y-koordinaten 2k på parablens akse og et punkt på parablen med samme y-koordinat (se figuren; der er to sådanne punkter, som giver samme afstand, på grund af parablens symmetri). Så er den reelle del af rødderne h, og deres imaginære del er ±d. Det vil sige, at rødderne er
h + i d og x – i d , {\displaystyle h+id\quad {\text{and}}}\quad x-id,}
eller i tilfældet med eksemplet i figuren
5 + 3 i og 5 – 3 i . {\displaystyle 5+3i\quad {\text{og}}}\quad 5-3i.}
Undgå tab af signifikansRediger
Og selv om den kvadratiske formel giver en nøjagtig løsning, er resultatet ikke nøjagtigt, hvis reelle tal tilnærmes under beregningen, som det er almindeligt i numerisk analyse, hvor reelle tal tilnærmes ved hjælp af flydende tal (kaldet “reelle tal” i mange programmeringssprog). I denne sammenhæng er den kvadratiske formel ikke helt stabil.
Det sker, når rødderne har forskellig størrelsesorden, eller tilsvarende, når b2 og b2 – 4ac ligger tæt på hinanden i størrelse. I dette tilfælde vil subtraktionen af to næsten lige store tal medføre tab af betydning eller katastrofal annullering i den mindre rod. For at undgå dette kan den rod, der er mindre i størrelsesorden, r, beregnes som ( c / a ) / R {\displaystyle (c/a)/R}
hvor R er den rod, der er større i størrelsesorden.
En anden form for annullering kan forekomme mellem termerne b2 og 4ac i diskriminanten, nemlig når de to rødder er meget tæt på hinanden. Dette kan føre til tab af op til halvdelen af de korrekte signifikante tal i rødderne.