1. ábra. Az y = ax2 + bx + c kvadratikus függvény ábrái, az egyes együtthatókat külön-külön változtatva, miközben a többi együttható fix (a = 1, b = 0, c = 0 értékeken)

A valós vagy komplex együtthatókkal rendelkező kvadratikus egyenletnek két megoldása van, amelyeket gyöknek nevezünk. Ez a két megoldás lehet vagy nem lehet különböző, és lehet vagy nem lehet valós.

Faktorálás vizsgálattalSzerkesztés

Egy ax2 + bx + c = 0 kvadratikus egyenletet lehet (px + q)(rx + s) = 0 szorzataként is kifejezni. Bizonyos esetekben egyszerű vizsgálattal meghatározhatjuk p, q, r és s olyan értékeit, amelyekkel a két alak egyenértékűvé válik egymással. Ha a kvadratikus egyenlet a második formában van felírva, akkor a “Nulla tényező tulajdonság” kimondja, hogy a kvadratikus egyenlet akkor teljesül, ha px + q = 0 vagy rx + s = 0. E két lineáris egyenlet megoldása adja meg a kvadratikus egyenlet gyökeit.

A legtöbb tanuló számára a faktorálás szemrevételezéssel az első olyan módszer a kvadratikus egyenletek megoldására, amellyel találkoznak.:202-207 Ha egy x2 + bx + c = 0 alakú kvadratikus egyenletet kapunk, a keresett faktorizálás (x + q)(x + s) alakú, és meg kell találnunk két olyan q és s számot, amelyek összege b, és amelyek szorzata c (ezt néha “Vieta szabályának” nevezik, és a Vieta képletekkel kapcsolatos). Egy példa: x2 + 5x + 6 tényezője (x + 3)(x + 2). Az általánosabb eset, amikor a nem egyenlő 1-gyel, jelentős erőfeszítést igényelhet próbálgatással és hibás találgatással, feltéve, hogy egyáltalán faktorálható szemrevételezéssel.

A speciális eseteket kivéve, például amikor b = 0 vagy c = 0, a szemrevételezéssel történő faktorálás csak olyan kvadratikus egyenletek esetében működik, amelyeknek racionális gyökei vannak. Ez azt jelenti, hogy a gyakorlati alkalmazásokban előforduló kvadratikus egyenletek nagy többsége nem oldható meg szemrevételezéssel történő faktorálással.:207

A négyzet kiegészítéseSzerkesztés

2. ábra. Az y = x2 – x – 2 kvadratikus függvény esetében az x2 – x – 2 = 0 kvadratikus egyenlet megoldásai azok a pontok, ahol a grafikon keresztezi az x-tengelyt, x = -1 és x = 2. Ezek a pontok az x2 – x – 2 = 0 kvadratikus egyenlet megoldásai.

A négyzet kiegészítésének folyamata az algebrai azonosságot

x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}

amely egy jól definiált algoritmust jelent, amely bármely négyzetes egyenlet megoldására használható.:207 Egy standard formájú kvadratikus egyenletből kiindulva: ax2 + bx + c = 0

1. Elosztjuk mindkét oldalt a-val, a négyzetes tag együtthatójával.
2. Kivonjuk mindkét oldalból a c/a konstans tagot.
3. Adjuk mindkét oldalhoz b/a felének négyzetét, x együtthatóját. Ezzel “kiegészítjük a négyzetet”, és a bal oldalt tökéletes négyzetté alakítjuk.
4. A bal oldalt írjuk fel négyzetként, és ha szükséges, egyszerűsítsük a jobb oldalt.
5. Két lineáris egyenletet állítunk elő úgy, hogy a bal oldal négyzetgyökét egyenlővé tesszük a jobb oldal pozitív és negatív négyzetgyökével.
6. A két lineáris egyenlet mindegyikét oldjuk meg.

Az algoritmus használatát a 2×2 + 4x – 4 = 0

1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 megoldásával szemléltetjük {\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}

2 ) x 2 + 2 x = 2 {\displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}

3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}

4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {\displaystyle 4)\ \ \ \left(x+1\right)^{2}=3}

5 ) x + 1 = ± 3 {\displaystyle 5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}}

6 ) x = – 1 ± 3 {\displaystyle 6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}}

A “±” plusz-mínusz szimbólum azt jelzi, hogy mind az x = -1 + √3, mind az x = -1 – √3 a kvadratikus egyenlet megoldása.

Kvadratikus képlet és levezetéseSzerkesztés

A négyzet kiegészítésével levezethető egy általános képlet a kvadratikus egyenletek megoldására, az úgynevezett kvadratikus képlet. A matematikai bizonyítást most röviden összefoglaljuk. Könnyen belátható, hogy polinombontással a következő egyenlet egyenértékű a kvadratikus egyenlettel:

( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.} }

Azzal, hogy mindkét oldal négyzetgyökét kivesszük, és izoláljuk x-et, megkapjuk:

x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

Egyes források, különösen a régebbiek, a kvadratikus egyenlet alternatív paraméterezéseit használják, mint például ax2 + 2bx + c = 0 vagy ax2 – 2bx + c = 0 , ahol b nagysága fele a gyakoribbnak, esetleg ellentétes előjellel. Ezek kissé eltérő megoldási formákat eredményeznek, de egyébként egyenértékűek.

A szakirodalomban számos alternatív levezetés található. Ezek a bizonyítások egyszerűbbek, mint a szokásos négyzetkitöltéses módszer, az algebrában gyakran használt más technikák érdekes alkalmazásait jelentik, vagy betekintést nyújtanak a matematika más területeire.

Egy kevésbé ismert négyzetes képlet, amelyet a Müller-módszerben használnak, ugyanezeket a gyököket a

x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c egyenleten keresztül adja meg. {\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}

Ez a standard kvadratikus képletből levezethető a Vieta-féle képletekkel, amelyek azt állítják, hogy a gyökök szorzata c/a.

Ez a forma egyik tulajdonsága, hogy egy érvényes gyököt ad, ha a = 0, míg a másik gyök nullával való osztást tartalmaz, mert ha a = 0, a kvadratikus egyenlet lineáris egyenlet lesz, amelynek egy gyöke van. Ezzel szemben ebben az esetben az elterjedtebb képlet az egyik gyöknél nullával való osztást, a másik gyöknél pedig 0/0 határozatlan formát tartalmaz. Másrészt, ha c = 0, akkor a gyakoribb képlet két helyes gyököt ad, míg ez a forma a nulla gyökkel és egy határozatlan alakú 0/0-val rendelkezik.

Redukált kvadratikus egyenletSzerkesztés

Egy kvadratikus egyenletet néha célszerű úgy redukálni, hogy a vezető együtthatója egy legyen. Ez úgy történik, hogy mindkét oldalt elosztjuk a-val, ami mindig lehetséges, mivel a nem nulla. Így kapjuk a redukált kvadratikus egyenletet:

x 2 + p x + q = 0 , {\displaystyle x^{2}+px+q=0,}

ahol p = b/a és q = c/a. Ennek a monikus egyenletnek ugyanazok a megoldásai, mint az eredetinek.

A redukált kvadratikus egyenlet megoldásainak kvadratikus képlete az együtthatókkal felírva a következő:

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {\displaystyle x={\frac {1}{2}}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}\right),}

vagy egyenértékűen:

x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . {\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}}\right)^{2}-q}}.}

DiscriminantEdit

3. ábra. Diszkriminanciajelek

A négyzetes képletben a négyzetgyökjel alatti kifejezést a négyzetes egyenlet diszkriminanciájának nevezik, és gyakran nagybetűs D-vel vagy nagybetűs görög deltával ábrázolják:

Δ = b 2 – 4 a c . {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}

Egy valós együtthatókkal rendelkező kvadratikus egyenletnek lehet egy vagy két különböző valós gyöke, vagy két különböző komplex gyöke. Ebben az esetben a diszkriminancia határozza meg a gyökök számát és jellegét. Három esetet különböztetünk meg:

• Ha a diszkriminancia pozitív, akkor két különálló gyök van

– b + Δ 2 a és – b – Δ 2 a , {\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{és}}\quad {\frac {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},}

amelyek mindkettő valós szám. Racionális együtthatókkal rendelkező kvadratikus egyenletek esetén, ha a diszkriminancia négyzetszám, akkor a gyökök racionálisak – más esetekben lehetnek kvadratikus irracionálisak.

• Ha a diszkriminancia nulla, akkor pontosan egy valós gyök

– b 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}

van, amit néha ismételt vagy kettős gyöknek neveznek.

• Ha a diszkriminancia negatív, akkor nincsenek valós gyökök. Inkább két különböző (nem valós) komplex gyök van

– b 2 a + i – Δ 2 a és – b 2 a – i – Δ 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}}\quad {\text{és}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}

amelyek egymás komplex konjugáltjai. Ezekben a kifejezésekben i a képzeletbeli egység.

A gyökök tehát akkor és csak akkor különbözőek, ha a diszkrimináns nem nulla, és a gyökök akkor és csak akkor valósak, ha a diszkrimináns nem negatív.

Geometriai értelmezésSzerkesztés

y = ax2 + bx + c grafikonja, ahol a és a diszkrimináns b2 – 4ac pozitív, a

• gyök és y-interceptus piros színnel
• Az él és a szimmetriatengely kék színnel
• A fókusz és a direktrix rózsaszínnel

y = ax2 + bx + c komplex gyökeinek szemléltetése: A parabolát 180°-kal elforgatjuk a csúcspontja (narancssárga) körül. Az x metszéspontjait 90°-kal elforgatjuk a középpontjuk körül, és a kartézi síkot komplex síknak értelmezzük (zöld).

A f(x) = ax2 + bx + c függvény egy kvadratikus függvény. Minden kvadratikus függvény grafikonja ugyanolyan általános alakú, amit parabolának nevezünk. A parabola elhelyezkedése és mérete, valamint az, hogy hogyan nyílik, az a, b és c értékeitől függ. Ahogy az 1. ábrán látható, ha a > 0, akkor a parabolának van egy minimumpontja, és felfelé nyílik. Ha a < 0, akkor a parabolának maximális pontja van, és lefelé nyílik. A parabola szélső pontja, legyen az minimum vagy maximum, megfelel a parabola csúcsának. A csúcs x-koordinátája az x = – b 2 a {\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}} pontban lesz.

, és a csúcs y-koordinátáját úgy találhatjuk meg, hogy ezt az x-értéket behelyettesítjük a függvénybe. Az y-interceptus a (0, c) pontban található.

Az ax2 + bx + c = 0 kvadratikus egyenlet megoldásai megfelelnek az f(x) = ax2 + bx + c függvény gyökeinek, mivel ezek az x azon értékei, amelyekre f(x) = 0. Ahogy a 2. ábrán látható, ha a, b és c valós számok, és f tartománya a valós számok halmaza, akkor f gyökei pontosan azoknak a pontoknak az x-koordinátái, ahol a grafikon érinti az x-tengelyt. A 3. ábrán látható, hogy ha a diszkriminancia pozitív, akkor a gráf két pontban érinti az x-tengelyt; ha nulla, akkor a gráf egy pontban érinti; ha pedig negatív, akkor a gráf nem érinti az x-tengelyt.

Kvadratikus faktorizációSzerkesztés

A kifejezés

x – r {\displaystyle x-r}

a polinom

a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} foka.

ha és csak akkor, ha r a négyzetes egyenlet

a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.} gyöke.

A kvadratikus képletből következik, hogy

a x 2 + b x + c = a ( x – – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – b – b 2 – b 2 – 4 a c 2 a ) . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).}

A b2 = 4ac speciális esetben, amikor a kvadratikusnak csak egy különálló gyöke van (azaz a diszkriminancia nulla), a kvadratikus polinom a következőképpen faktorálható

a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}

Grafikus megoldásSzerkesztés

4. ábra. Grafikus számológépes számítás a 2×2 + 4x – 4 = 0 kvadratikus egyenlet két gyökének egyikére. Bár a kijelző csak ötjegyű pontosságot mutat, az xc visszakapott értéke 0,732050807569, ami tizenkétjegyű pontosságú.

Egy valós gyök nélküli kvadratikus függvény: y = (x – 5)2 + 9. A “3” az x metszéspont képzeletbeli része. A valós rész a csúcs x-koordinátája. A gyök tehát 5 ± 3i.

A négyzetes egyenlet

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} megoldása.

lehet következtetni a kvadratikus függvény

y = a x 2 + b x + c , {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}

grafikonjából, amely egy parabola.

Ha a parabola két pontban metszi az x-tengelyt, akkor két valós gyök van, amelyek e két pont x-koordinátái (más néven x-interceptus).

Ha a parabola érinti az x-tengelyt, akkor van egy kettős gyök, amely a grafikon és a parabola érintkezési pontjának x-koordinátája.

Ha a parabola nem metszi az x-tengelyt, akkor van két komplex konjugált gyök. Bár ezek a gyökök nem ábrázolhatók a grafikonon, de valós és képzetes részük igen.

Legyen h és k a parabola csúcsának (vagyis a maximális vagy minimális y-koordinátájú pontnak) az x-koordinátája, illetve az y-koordinátája. A kvadratikus függvényt átírhatjuk

y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}

Legyen d a parabola tengelyén lévő 2k y-koordinátájú pont és a parabola egy azonos y-koordinátájú pontja közötti távolság (lásd az ábrát; a parabola szimmetriája miatt két ilyen pont van, amelyek azonos távolságot adnak). Ekkor a gyökök valós része h, képzetes részük pedig ±d. Vagyis a gyökök

h + i d és x – i d , {\displaystyle h+id\quad {\text{és}}\quad x-id,}

vagy az ábra példája esetében

5 + 3 i és 5 – 3 i . {\displaystyle 5+3i\quad {\text{és}}\quad 5-3i.}

Jelentőségvesztés elkerüléseSzerkesztés

Bár a kvadratikus képlet pontos megoldást ad, az eredmény nem pontos, ha a számítás során valós számokat közelítünk, ahogy az a numerikus analízisben szokásos, ahol a valós számokat lebegőpontos számokkal (sok programozási nyelvben “reáloknak” nevezik) közelítik. Ebben az összefüggésben a kvadratikus képlet nem teljesen stabil.

Ez akkor fordul elő, ha a gyökök különböző nagyságrendűek, vagy ennek megfelelően, ha b2 és b2 – 4ac nagyságrendje közel van egymáshoz. Ebben az esetben két közel azonos szám kivonása a kisebbik gyöknél jelentőségvesztést vagy katasztrofális törlést okoz. Ennek elkerülése érdekében a kisebb nagyságú gyök, r, kiszámítható a következőképpen: ( c / a ) / R {\displaystyle (c/a)/R}

ahol R a nagyobb nagyságú gyök.

A diszkrimináns b2 és 4ac kifejezései között előfordulhat a törlés egy második formája is, mégpedig akkor, ha a két gyök nagyon közel van egymáshoz. Ez a helyes szignifikáns számjegyek felének elvesztéséhez vezethet a gyökökben.