Uma equação quadrática com coeficientes reais ou complexos tem duas soluções, chamadas raízes. Estas duas soluções podem ou não ser distintas, e podem ou não ser reais.
Factoring by inspectionEdit
Pode ser possível expressar uma equação quadrática eixo2 + bx + c = 0 como produto (px + q)(rx + s) = 0. Em alguns casos, é possível, por simples inspecção, determinar valores de p, q, r, e s que fazem as duas formas equivalentes uma à outra. Se a equação quadrática for escrita na segunda forma, então a “Propriedade do Fator Zero” afirma que a equação quadrática é satisfeita se px + q = 0 ou rx + s = 0. A resolução destas duas equações lineares fornece as raízes do quadrático.
Para a maioria dos estudantes, o factoring por inspecção é o primeiro método de resolução de equações quadráticas às quais eles estão expostos.:202-207 Se for dada uma equação quadrática na forma x2 + bx + c = 0, a factorização procurada tem a forma (x + q)(x + s), e é preciso encontrar dois números q e s que se somam a b e cujo produto é c (isto é às vezes chamado de “regra da Vieta” e está relacionado com as fórmulas da Vieta). Como exemplo, x2 + 5x + 6 factores como (x + 3)(x + 2). O caso mais geral em que a não é igual a 1 pode exigir um esforço considerável em tentativas e erros de adivinhação e verificação, assumindo que pode ser fatorado por inspeção.
Exceto para casos especiais como onde b = 0 ou c = 0, o fatoramento por inspeção só funciona para equações quadráticas que têm raízes racionais. Isto significa que a grande maioria das equações quadráticas que surgem em aplicações práticas não podem ser resolvidas pelo factoring por inspecção.:207
Completando o quadradoEditar
O processo de completar o quadrado faz uso da identidade algébrica
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}
que representa um algoritmo bem definido que pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática.:207 Começando com uma equação quadrática na forma padrão, ax2 + bx + c = 0
- Dividir cada lado por a, o coeficiente do termo quadrado.
- Subtrair o termo constante c/a de ambos os lados.
- Adicionar o quadrado de metade de b/a, o coeficiente de x, a ambos os lados. Isto “completa o quadrado”, convertendo o lado esquerdo num quadrado perfeito.
- Escreva o lado esquerdo como um quadrado e simplifique o lado direito se necessário.
- Produza duas equações lineares equalizando a raiz quadrada do lado esquerdo com as raízes quadradas positivas e negativas do lado direito.
- Solver cada uma das duas equações lineares.
Demos exemplos do uso deste algoritmo resolvendo 2×2 + 4x – 4 = 0
1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}
2 ) x 2 + 2 x = 2 ^{\i1} x^{\i}+2x=2}
3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}
4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {\i1}esquerda(x+1}direita)^{2}=3}
5 ) x + 1 = ± 3 {\\i1}x+1={\i1}pm {\i}
6 ) x = – 1 ± 3 {\\i1}x=-1{\i}}
O símbolo mais/menos “±” indica que ambos x = -1 + √3 e x = -1 – √3 são soluções da equação quadrática.
Fórmula quadrática e sua derivaçãoEditar
Completar o quadrado pode ser usado para derivar uma fórmula geral para resolver equações quadráticas, chamada de fórmula quadrática. A prova matemática será agora brevemente resumida. Pode-se ver facilmente, por expansão polinomial, que a seguinte equação é equivalente à equação quadrática:
( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . Estilo de jogo à esquerda(x+frac {b}{2a}}{2a}={frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}.}
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, e isolando x, dá:
x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {\i1}displaystyle x={\i}{\i}{b^{2}-4ac}}{2a}.{2a}
algumas fontes, particularmente as mais antigas, usam parametrizações alternativas da equação quadrática como ax2 + 2bx + c = 0 ou ax2 – 2bx + c = 0 , onde b tem uma magnitude metade da mais comum, possivelmente com sinal oposto. Estas resultam em formas ligeiramente diferentes para a solução, mas são de outra forma equivalentes.
Um número de derivações alternativas pode ser encontrado na literatura. Estas provas são mais simples que o padrão completando o método quadrado, representam aplicações interessantes de outras técnicas frequentemente utilizadas em álgebra, ou oferecem uma visão de outras áreas da matemática.
Uma fórmula quadrática menos conhecida, como usada no método de Muller fornece as mesmas raízes através da equação
x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c .
Isto pode ser deduzido da fórmula quadrática padrão pelas fórmulas da Vieta, que afirmam que o produto das raízes é c/a.
Uma propriedade desta forma é que ela produz uma raiz válida quando a = 0, enquanto a outra raiz contém divisão por zero, porque quando a = 0, a equação quadrática torna-se uma equação linear, que tem uma raiz. Por outro lado, neste caso, a fórmula mais comum tem uma divisão por zero para uma raiz e uma forma indeterminada 0/0 para a outra raiz. Por outro lado, quando c = 0, a fórmula mais comum produz duas raízes corretas, enquanto que esta forma produz a raiz zero e uma forma indeterminada 0/0.
Equação quadrática reduzidaEditar
É por vezes conveniente reduzir uma equação quadrática para que o seu coeficiente principal seja um. Isto é feito dividindo ambos os lados por um, o que é sempre possível uma vez que um é não-zero. Isto produz a equação quadrática reduzida:
x 2 + p x + q = 0 , {\displaystyle x^{2}+px+q=0,}
where p = b/a e q = c/a. Esta equação monica tem as mesmas soluções que a original.
A fórmula quadrática para as soluções da equação quadrática reduzida, escrita em termos de seus coeficientes, é:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {\\i1}esq {\i}{\i}{\i1}esq {\i}(-p}pm {\i} {\i}{\i}-direita),}
ou equivalente:
x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . estilo de jogo x=-{\a2}{\a2}}pm {\a2}{\a2}-esquerda(esquerda(esquerda)(2)(direita)^{\a2}-q}.^{\a2}
DiscriminantEdit
Na fórmula quadrática, a expressão abaixo do sinal quadrático é chamada de discriminante da equação quadrática, e é frequentemente representada usando um D maiúsculo ou um delta grego maiúsculo:
Δ = b 2 – 4 a c . Delta =b^{2}-4ac.}
Uma equação quadrática com coeficientes reais pode ter uma ou duas raízes reais distintas, ou duas raízes complexas distintas. Neste caso, o discriminante determina o número e a natureza das raízes. Há três casos:
- Se o discriminante for positivo, então há duas raízes distintas
– b + Δ 2 a e – b – Δ 2 a , Para equações quadráticas com coeficientes racionais, se o discriminante é um número quadrado, então as raízes são racionais – em outros casos podem ser quadráticas irracionais.
- Se o discriminante é zero, então há exatamente uma raiz real
– b 2 a , {\displaystyle -{\frac {\b}{2a}},}
às vezes chamada de raiz repetida ou dupla.
- Se o discriminante for negativo, então não há raízes reais. Pelo contrário, existem duas raízes complexas distintas (não reais)
– b 2 a + i – Δ 2 a e – b 2 a – i – Δ 2 a , estilo de jogo -frac + ifrac -delta -delta -2a), qad -quad -frac 2a), qad -frac 2a), qad -frac 2a), qqrt 2a),
que são conjugados complexos um do outro. Nessas expressões i é a unidade imaginária.
Assim, as raízes são distintas se e só se o discriminante for não-zero, e as raízes são reais se e só se o discriminante for não-negativo.
Interpretação geométricaEditar
- Raízes e y-intercepção em vermelho
- Vertex e eixo de simetria em azul
- Foco e directriz em rosa
A função f(x) = ax2 + bx + c é uma função quadrática. O gráfico de qualquer função quadrática tem a mesma forma geral, que é chamada de parábola. A localização e tamanho da parábola, e como ela se abre, depende dos valores de a, b, e c. Como mostrado na Figura 1, se a > 0, a parábola tem um ponto mínimo e se abre para cima. Se a < 0, a parábola tem um ponto máximo e se abre para baixo. O ponto extremo da parábola, seja mínimo ou máximo, corresponde ao seu vértice. A coordenada x do vértice estará localizada em x = – b 2 a {\i1 a {\i1}escrito estilo x={\i}{-b}{2a}}}
, e a coordenada y do vértice pode ser encontrada através da substituição deste valor x pela função. O intercepção y está localizada no ponto (0, c).
As soluções da equação quadrática eixo2 + bx + c = 0 correspondem às raízes da função f(x) = eixo2 + bx + c, pois são os valores de x para os quais f(x) = 0. Como mostrado na Figura 2, se a, b, e c são números reais e o domínio de f é o conjunto de números reais, então as raízes de f são exatamente as coordenadas-x dos pontos onde o gráfico toca o eixo x. Como mostrado na Figura 3, se o discriminante for positivo, o gráfico toca o eixo x em dois pontos; se zero, o gráfico toca em um ponto; e se negativo, o gráfico não toca o eixo x.
Factorização quadráticaEditar
O termo
x – r {\displaystyle x-r}
é um factor do polinómio
a x 2 + b x + c {\\\i1}exemplo de visualização^{2}+bx+c}
if e apenas se r for uma raiz da equação quadrática
a x 2 + b x + c = 0. {\\\i1}exemplo de visualização^{2}+bx+c=0,}
Segue-se da fórmula quadrática que
a x 2 + b x + c = a ( x – – – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – – b – b 2 – 4 a c 2 a ) . Eixo estilo display ^{2}+bx+c=a=a esquerda(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}{2a}}esquerda(x-{\frac {b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}.{2a}{2a}}
No caso especial b2 = 4ac onde o quadrático tem apenas uma raiz distinta (ou seja, o discriminante é zero), o polinómio quadrático pode ser considerado como
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}
Solução gráficaEditar
>
As soluções da equação quadrática
a x 2 + b x + c = 0 {\\i1}exemplo de visualização^{2}+bx+c=0}
pode ser deduzido do gráfico da função quadrática
y = a x 2 + b x + c , {\\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
que é uma parábola.
Se a parábola intersecta o eixo x em dois pontos, existem duas raízes reais, que são as coordenadas x destes dois pontos (também chamadas de intercepção x).
Se a parábola é tangente ao eixo x, há uma raiz dupla, que é a coordenada x do ponto de contacto entre o gráfico e a parábola.
Se a parábola não intersecta o eixo x, há duas raízes conjugadas complexas. Embora estas raízes não possam ser visualizadas no gráfico, suas partes real e imaginária podem ser.
Deixe h e k ser respectivamente a coordenada x e a coordenada y do vértice da parábola (que é o ponto com a coordenada y máxima ou mínima). A função quadrática pode ser reescrita
y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}
Deixe ser a distância entre o ponto da coordenada y 2k no eixo da parábola, e um ponto na parábola com a mesma coordenada y (veja a figura; existem dois pontos assim, que dão a mesma distância, devido à simetria da parábola). Então a parte real das raízes é h, e a sua parte imaginária é ±d. Ou seja, as raízes são
h + i d e x – i d , {\displaystyle h+id\quad {\displaystyle h+id\quad {\displaystyle h+id\d,}
ou no caso do exemplo da figura
5 + 3 i e 5 – 3 i . estilo de jogo 5+3iquad 5-3i.
Evitando a perda de significadoEditar
Apesar da fórmula quadrática fornecer uma solução exata, o resultado não é exato se os números reais forem aproximados durante o cálculo, como de costume na análise numérica, onde os números reais são aproximados por números de ponto flutuante (chamados de “reais” em muitas linguagens de programação). Neste contexto, a fórmula quadrática não é completamente estável.
Isto ocorre quando as raízes têm ordem de magnitude diferente, ou, equivalentemente, quando b2 e b2 – 4ac estão próximos em magnitude. Neste caso, a subtração de dois números quase iguais causará perda de importância ou cancelamento catastrófico na raiz menor. Para evitar isso, a raiz que é menor em magnitude, r, pode ser calculada como ( c / a ) / R {\displaystyle (c/a)/R}.
onde R é a raiz que é maior em magnitude.
Uma segunda forma de cancelamento pode ocorrer entre os termos b2 e 4ac do discriminante, isto é, quando as duas raízes estão muito próximas. Isto pode levar à perda de até metade dos números significativos corretos nas raízes.