Kvadratická rovnice s reálnými nebo komplexními koeficienty má dvě řešení, tzv. kořeny. Tato dvě řešení mohou, ale nemusí být různá a mohou, ale nemusí být reálná.
Faktorování prohlídkouUpravit
Kvadratickou rovnici ax2 + bx + c = 0 je možné vyjádřit jako součin (px + q)(rx + s) = 0. V některých případech je možné jednoduchou prohlídkou určit hodnoty p, q, r a s, díky kterým jsou oba tvary navzájem ekvivalentní. Je-li kvadratická rovnice zapsána v druhém tvaru, pak „vlastnost nulového činitele“ říká, že kvadratická rovnice je splněna, jestliže px + q = 0 nebo rx + s = 0. Řešením těchto dvou lineárních rovnic získáme kořeny kvadratické rovnice.
Pro většinu studentů je faktorizace pomocí kontroly první metodou řešení kvadratických rovnic, se kterou se setkali.:202-207 Je-li dána kvadratická rovnice ve tvaru x2 + bx + c = 0, má hledaná faktorizace tvar (x + q)(x + s) a je třeba najít dvě čísla q a s, která dávají součet b a jejichž součin je c (někdy se tomu říká „Vietovo pravidlo“ a souvisí to s Vietovými vzorci). Příklad: x2 + 5x + 6 je děleno jako (x + 3)(x + 2). Obecnější případ, kdy a není rovno 1, může vyžadovat značné úsilí při odhadu a kontrole metodou pokus-omyl za předpokladu, že jej vůbec lze vyfaktorizovat kontrolou.
S výjimkou speciálních případů, například když b = 0 nebo c = 0, funguje faktorizace kontrolou pouze pro kvadratické rovnice, které mají racionální kořeny. To znamená, že velkou většinu kvadratických rovnic, které vznikají v praktických aplikacích, nelze vyřešit pomocí faktoringu inspekcí. 207
Dokončení čtverceUpravit
Postup doplnění čtverce využívá algebraickou identitu
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}
která představuje dobře definovaný algoritmus, který lze použít k řešení libovolné kvadratické rovnice.:207 Začneme s kvadratickou rovnicí ve standardním tvaru ax2 + bx + c = 0
- Každou stranu vydělíme a, koeficientem čtvercového členu.
- Od obou stran odečteme konstantní člen c/a.
- K oběma stranám přičteme čtverec poloviny b/a, koeficientu x.
- Přičteme k oběma stranám čtverec poloviny b/a, koeficient x. Tím „doplníme čtverec“ a levou stranu převedeme na dokonalý čtverec.
- Napíšeme levou stranu jako čtverec a pravou stranu v případě potřeby zjednodušíme.
- Vytvoříme dvě lineární rovnice tak, že odmocninu levé strany srovnáme s kladnými a zápornými odmocninami pravé strany.
- Vyřešte každou ze dvou lineárních rovnic.
Použití tohoto algoritmu ilustrujeme řešením 2×2 + 4x – 4 = 0
1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}.
2 ) x 2 + 2 x = 2 {\displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}
3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}
4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {\displaystyle 4)\\left(x+1\right)^{2}=3}
5 ) x + 1 = ± 3 {\displaystyle 5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}}.
6 ) x = – 1 ± 3 {\displaystyle 6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}}
Symbol plus minus „±“ znamená, že jak x = -1 + √3, tak x = -1 – √3 jsou řešením kvadratické rovnice.
Kvadratická rovnice a její odvozeníUpravit
Složením čtverce lze odvodit obecný vzorec pro řešení kvadratických rovnic, tzv. kvadratický vzorec. Matematický důkaz nyní stručně shrneme. Rozložením polynomu lze snadno zjistit, že následující rovnice je ekvivalentní kvadratické rovnici:
( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.
Při odmocnění obou stran a izolaci x dostaneme:
x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}.
Některé zdroje, zejména starší, používají alternativní parametrizace kvadratické rovnice, například ax2 + 2bx + c = 0 nebo ax2 – 2bx + c = 0 , kde b má poloviční velikost oproti běžnější, případně s opačným znaménkem. Výsledkem jsou mírně odlišné tvary řešení, ale jinak jsou ekvivalentní.
V literatuře lze nalézt řadu alternativních odvození. Tyto důkazy jsou jednodušší než standardní metoda doplnění čtverce, představují zajímavé aplikace jiných často používaných technik v algebře nebo nabízejí vhled do jiných oblastí matematiky.
Méně známý kvadratický vzorec, použitý v Müllerově metodě, poskytuje stejné kořeny prostřednictvím rovnice
x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c . {\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}.
To lze odvodit ze standardního kvadratického vzorce pomocí Vietových vzorců, které tvrdí, že součin kořenů je c/a.
Jednou z vlastností tohoto tvaru je, že dává jeden platný kořen, když a = 0, zatímco druhý kořen obsahuje dělení nulou, protože když a = 0, stává se kvadratická rovnice rovnicí lineární, která má jeden kořen. Naproti tomu v tomto případě běžnější vzorec má pro jeden kořen dělení nulou a pro druhý kořen neurčitý tvar 0/0. Naopak při c = 0 dává běžnější vzorec dva správné kořeny, zatímco tento tvar dává nulový kořen a neurčitý tvar 0/0.
Redukovaná kvadratická rovniceRedukovat
Někdy je vhodné redukovat kvadratickou rovnici tak, aby její vedoucí koeficient byl roven jedné. To se provádí tak, že se obě strany vydělí číslem a, což je vždy možné, protože a je nenulové. Vznikne tak redukovaná kvadratická rovnice:
x 2 + p x + q = 0 , {\displaystyle x^{2}+px+q=0,}
kde p = b/a a q = c/a. Tato monická rovnice má stejné řešení jako původní.
Kvadratický vzorec pro řešení redukované kvadratické rovnice, zapsaný v podobě jejích koeficientů, je:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {\displaystyle x={\frac {1}{2}}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}\right),}
nebo ekvivalentně:
x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . {\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}}\right)^{2}-q}}.}
DiscriminantEdit
V kvadratickém vzorci se výraz pod znakem odmocniny nazývá diskriminant kvadratické rovnice a často se znázorňuje pomocí velkého písmene D nebo velké řecké delty:
Δ = b 2 – 4 a c . {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}
Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty může mít buď jeden, nebo dva různé reálné kořeny, nebo dva různé komplexní kořeny. V tomto případě určuje počet a povahu kořenů diskriminant. Existují tři případy:
- Je-li diskriminant kladný, pak existují dva různé kořeny
– b + Δ 2 a a – b – Δ 2 a , {\displayystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{a}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},}
oba jsou reálná čísla. U kvadratických rovnic s racionálními koeficienty, pokud je diskriminant čtvercové číslo, jsou kořeny racionální – v ostatních případech to mohou být kvadratické iracionály.
- Je-li diskriminant nulový, pak existuje právě jeden reálný kořen
– b 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}
někdy se nazývá opakovaný nebo dvojitý kořen.
- Je-li diskriminant záporný, pak neexistují žádné reálné kořeny. Spíše existují dva různé (nereálné) komplexní kořeny
– b 2 a + i – Δ 2 a a – b 2 a – i – Δ 2 a , {\displayystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}}\quad {\text{a}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}
které jsou navzájem komplexními konjugáty. V těchto výrazech je i imaginární jednotkou.
Kořeny jsou tedy různé tehdy a jen tehdy, je-li diskriminant nenulový, a kořeny jsou reálné tehdy a jen tehdy, je-li diskriminant nezáporný.
Geometrická interpretaceUpravit
- Kořeny a intercepce y červeně
- Vertex a osa symetrie modře
- Fokus a direkce růžově
Funkce f(x) = ax2 + bx + c je kvadratická funkce. Graf každé kvadratické funkce má stejný obecný tvar, který se nazývá parabola. Poloha a velikost paraboly a způsob jejího rozevření závisí na hodnotách a, b a c. Jak ukazuje obrázek 1, pokud a > 0, má parabola minimální bod a rozevře se směrem vzhůru. Pokud a < 0, má parabola maximální bod a otevírá se směrem dolů. Krajní bod paraboly, ať už minimální nebo maximální, odpovídá jejímu vrcholu. Souřadnice x vrcholu se bude nacházet v bodě x = – b 2 a {\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}}.
, a y-ovou souřadnici vrcholu najdeme dosazením této x-ové hodnoty do funkce. Průsečík y se nachází v bodě (0, c).
Řešení kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 odpovídá kořenům funkce f(x) = ax2 + bx + c, neboť se jedná o hodnoty x, pro které je f(x) = 0. Jak ukazuje obrázek 2, jsou-li a, b a c reálná čísla a obor funkce f je množina reálných čísel, pak kořeny funkce f jsou právě x-ové souřadnice bodů, v nichž se graf dotýká osy x. Na obrázku 2 je vidět, že kořeny funkce f jsou přesně ty body, v nichž se graf dotýká osy x. Jak ukazuje obrázek 3, je-li diskriminant kladný, dotýká se graf osy x ve dvou bodech, je-li nulový, dotýká se graf v jednom bodě a je-li záporný, graf se osy x nedotýká.
Kvadratická faktorizaceUpravit
Termín
x – r {\displaystyle x-r}
je činitelem polynomu
a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}.
jen tehdy, když r je kořen kvadratické rovnice
a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
Z kvadratické rovnice vyplývá, že
a x 2 + b x + c = a ( x – – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – b – b 2 – 4 a c 2 a ) . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}\right)}.
Ve speciálním případě b2 = 4ac, kdy má kvadratický polynom pouze jeden výrazný kořen (tj. diskriminant je nulový), lze kvadratický polynom vyložit jako
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}
Grafické řešeníEdit
Řešení kvadratické rovnice
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}.
můžeme odvodit z grafu kvadratické funkce
y = a x 2 + b x + c , {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
která je parabola.
Protíná-li parabola osu x ve dvou bodech, existují dva reálné kořeny, což jsou x-ové souřadnice těchto dvou bodů (nazývané také x-intercept).
Pokud je parabola tečnou k ose x, existuje jeden dvojitý kořen, což je x-ová souřadnice styčného bodu mezi grafem a parabolou.
Pokud parabola neprotíná osu x, existují dva komplexní konjugované kořeny. Tyto kořeny sice nelze zobrazit na grafu, ale lze zobrazit jejich reálnou a imaginární část.
Nechť h a k jsou x-ová, resp. y-ová souřadnice vrcholu paraboly (tedy bodu s maximální, resp. minimální y-ovou souřadnicí. Kvadratickou funkci lze přepsat
y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}
Nechť d je vzdálenost mezi bodem o souřadnici y 2k na ose paraboly a bodem na parabole se stejnou souřadnicí y (viz obrázek; takové body jsou dva a dávají stejnou vzdálenost, protože parabola je symetrická). Pak reálná část kořenů je h a jejich imaginární část je ±d. To znamená, že kořeny jsou
h + i d a x – i d , {\displayystyle h+id\kvadrát {\text{a}}kvadrát x-id,}
nebo v případě příkladu na obrázku
5 + 3 i a 5 – 3 i . {\displaystyle 5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.}
Vyhnutí se ztrátě významnostiEdit
Ačkoli kvadratický vzorec poskytuje přesné řešení, výsledek není přesný, pokud se při výpočtu aproximují reálná čísla, jak je obvyklé v numerické analýze, kde se reálná čísla aproximují čísly s pohyblivou řádovou čárkou (v mnoha programovacích jazycích nazývanými „reály“). V tomto kontextu není kvadratický vzorec zcela stabilní.
To nastane, když mají kořeny různý řád velikosti, nebo ekvivalentně, když jsou b2 a b2 – 4ac blízko velikosti. V takovém případě způsobí odečítání dvou téměř stejných čísel ztrátu významnosti nebo katastrofální zrušení menšího kořene. Aby se tomu předešlo, lze kořen, který má menší velikost, r, vypočítat jako ( c / a ) / R {\displaystyle (c/a)/R}.
kde R je kořen, který má větší velikost.
Druhá forma zrušení může nastat mezi členy b2 a 4ac diskriminantu, tedy když jsou oba kořeny velmi blízko. To může vést ke ztrátě až poloviny správných významných čísel v kořenech.