Eine quadratische Gleichung mit reellen oder komplexen Koeffizienten hat zwei Lösungen, die Wurzeln genannt werden. Diese beiden Lösungen können unterschiedlich sein oder nicht, und sie können reell sein oder nicht.
- Faktorisierung durch InspektionBearbeiten
- Vervollständigung des QuadratsBearbeiten
- Quadratische Formel und ihre HerleitungBearbeiten
- Reduzierte quadratische GleichungBearbeiten
- DiscriminantEdit
- Geometrische InterpretationBearbeiten
- Quadratische FaktorisierungBearbeiten
- Grafische LösungBearbeiten
- Signifikanzverlust vermeidenBearbeiten
Faktorisierung durch InspektionBearbeiten
Es kann möglich sein, eine quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 als Produkt (px + q)(rx + s) = 0 auszudrücken. In einigen Fällen ist es möglich, durch einfache Inspektion Werte für p, q, r und s zu bestimmen, die die beiden Formen äquivalent zueinander machen. Wenn die quadratische Gleichung in der zweiten Form geschrieben ist, dann besagt die „Nullfaktoreneigenschaft“, dass die quadratische Gleichung erfüllt ist, wenn px + q = 0 oder rx + s = 0. Die Lösung dieser beiden linearen Gleichungen liefert die Wurzeln der quadratischen Gleichung.
Für die meisten Schülerinnen und Schüler ist das Faktorisieren durch Inspektion die erste Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen, der sie ausgesetzt sind.:202-207 Wenn man eine quadratische Gleichung in der Form x2 + bx + c = 0 erhält, hat die gesuchte Faktorisierung die Form (x + q)(x + s), und man muss zwei Zahlen q und s finden, die sich zu b addieren und deren Produkt c ist (dies wird manchmal als „Vieta-Regel“ bezeichnet und ist mit den Vieta-Formeln verwandt). Ein Beispiel: x2 + 5x + 6 lässt sich als (x + 3)(x + 2) faktorisieren. Der allgemeinere Fall, in dem a ungleich 1 ist, kann einen beträchtlichen Aufwand an Versuch und Irrtum erfordern, wenn man davon ausgeht, dass er überhaupt durch Inspektion faktorisiert werden kann.
Abgesehen von Sonderfällen wie b = 0 oder c = 0 funktioniert das Faktorisieren durch Inspektion nur für quadratische Gleichungen, die rationale Wurzeln haben. Das bedeutet, dass die große Mehrheit der quadratischen Gleichungen, die in der Praxis vorkommen, nicht durch Faktorisieren gelöst werden können.:207
Vervollständigung des QuadratsBearbeiten
Das Verfahren zur Vervollständigung des Quadrats nutzt die algebraische Identität
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}
welches einen wohldefinierten Algorithmus darstellt, der zur Lösung jeder quadratischen Gleichung verwendet werden kann.:207 Ausgehend von einer quadratischen Gleichung in Standardform, ax2 + bx + c = 0
- Dividiere jede Seite durch a, den Koeffizienten des quadratischen Terms.
- Subtrahiere den konstanten Term c/a von beiden Seiten.
- Addiere das Quadrat der Hälfte von b/a, dem Koeffizienten von x, zu beiden Seiten. Dadurch wird das Quadrat vervollständigt und die linke Seite in ein perfektes Quadrat umgewandelt.
- Schreibe die linke Seite als Quadrat und vereinfache die rechte Seite, falls nötig.
- Erstelle zwei lineare Gleichungen, indem du die Quadratwurzel der linken Seite mit den positiven und negativen Quadratwurzeln der rechten Seite gleichsetzt.
- Löse jede der beiden linearen Gleichungen.
Wir veranschaulichen die Anwendung dieses Algorithmus durch die Lösung von 2×2 + 4x – 4 = 0
1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}
2 ) x 2 + 2 x = 2 {\displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}
3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}
4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {\displaystyle 4)\ \left(x+1\right)^{2}=3}
5 ) x + 1 = ± 3 {\displaystyle 5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}
6 ) x = – 1 ± 3 {\displaystyle 6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}
Das Plus-Minus-Symbol „±“ zeigt an, dass sowohl x = -1 + √3 als auch x = -1 – √3 Lösungen der quadratischen Gleichung sind.
Quadratische Formel und ihre HerleitungBearbeiten
Aus der Vervollständigung des Quadrats lässt sich eine allgemeine Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen ableiten, die quadratische Formel. Der mathematische Beweis soll nun kurz zusammengefasst werden. Es ist leicht zu sehen, dass die folgende Gleichung durch Polynom-Erweiterung der quadratischen Gleichung entspricht:
( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}
Wenn man die Quadratwurzel aus beiden Seiten zieht und x isoliert, erhält man:
x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
Einige Quellen, vor allem ältere, verwenden alternative Parametrisierungen der quadratischen Gleichung wie ax2 + 2bx + c = 0 oder ax2 – 2bx + c = 0 , wobei b eine Größe hat, die halb so groß ist wie die üblichere, möglicherweise mit umgekehrtem Vorzeichen. Diese führen zu leicht unterschiedlichen Formen der Lösung, sind aber ansonsten äquivalent.
In der Literatur findet man eine Reihe von alternativen Herleitungen. Diese Beweise sind einfacher als die Standardmethode zur Vervollständigung des Quadrats, stellen interessante Anwendungen anderer häufig verwendeter Techniken in der Algebra dar oder bieten Einblicke in andere Bereiche der Mathematik.
Eine weniger bekannte quadratische Formel, wie sie in der Muller-Methode verwendet wird, liefert die gleichen Wurzeln über die Gleichung
x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c . {displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}
Dies lässt sich aus der quadratischen Standardformel durch die Formeln von Vieta ableiten, die besagen, dass das Produkt der Wurzeln c/a ist.
Eine Eigenschaft dieser Form ist, dass sie eine gültige Wurzel liefert, wenn a = 0 ist, während die andere Wurzel die Division durch Null enthält, denn wenn a = 0 ist, wird die quadratische Gleichung zu einer linearen Gleichung, die eine Wurzel hat. Im Gegensatz dazu hat die gängigere Formel in diesem Fall eine Division durch Null für eine Wurzel und eine unbestimmte Form 0/0 für die andere Wurzel. Wenn c = 0 ist, liefert die gebräuchlichere Formel zwei korrekte Wurzeln, während diese Form die Nullwurzel und eine unbestimmte Form 0/0 liefert.
Reduzierte quadratische GleichungBearbeiten
Es ist manchmal praktisch, eine quadratische Gleichung so zu reduzieren, dass ihr führender Koeffizient eins ist. Dazu dividiert man beide Seiten durch a, was immer möglich ist, da a ungleich Null ist. Dies ergibt die reduzierte quadratische Gleichung:
x 2 + p x + q = 0 , {\displaystyle x^{2}+px+q=0,}
mit p = b/a und q = c/a. Diese monische Gleichung hat die gleichen Lösungen wie das Original.
Die quadratische Formel für die Lösungen der reduzierten quadratischen Gleichung, geschrieben in Form ihrer Koeffizienten, lautet:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right),}
oder entsprechend:
x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . {\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.}
DiscriminantEdit
In der quadratischen Formel wird der Ausdruck unterhalb des Quadratwurzelzeichens als Diskriminante der quadratischen Gleichung bezeichnet und oft mit einem großgeschriebenen D oder einem großgeschriebenen griechischen Delta dargestellt:
Δ = b 2 – 4 a c . {Δ = b^{2}-4ac.}
Eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten kann entweder eine oder zwei verschiedene reelle Wurzeln haben, oder zwei verschiedene komplexe Wurzeln. In diesem Fall bestimmt die Diskriminante die Anzahl und Art der Wurzeln. Es gibt drei Fälle:
- Ist die Diskriminante positiv, dann gibt es zwei verschiedene Wurzeln
– b + Δ 2 a und – b – Δ 2 a , {\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}{2a}}\quad {\text{und}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}{2a}},}
die beide reelle Zahlen sind. Bei quadratischen Gleichungen mit rationalen Koeffizienten sind die Wurzeln rational, wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist – in anderen Fällen können sie quadratische Irrationale sein.
- Ist die Diskriminante Null, dann gibt es genau eine reelle Wurzel
– b 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}
manchmal auch als wiederholte oder doppelte Wurzel bezeichnet.
- Wenn die Diskriminante negativ ist, dann gibt es keine echten Wurzeln. Stattdessen gibt es zwei verschiedene (nicht reelle) komplexe Wurzeln
– b 2 a + i – Δ 2 a und – b 2 a – i – Δ 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{und}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}
die komplex konjugiert zueinander sind. In diesen Ausdrücken ist i die imaginäre Einheit.
Die Wurzeln sind also eindeutig, wenn und nur wenn die Diskriminante ungleich Null ist, und die Wurzeln sind reell, wenn und nur wenn die Diskriminante nichtnegativ ist.
Geometrische InterpretationBearbeiten
- Wurzeln und y-Achsenabschnitt in rot
- Scheitelpunkt und Symmetrieachse in blau
- Fokus und Leitlinie in rosa
Die Funktion f(x) = ax2 + bx + c ist eine quadratische Funktion. Der Graph jeder quadratischen Funktion hat die gleiche allgemeine Form, die als Parabel bezeichnet wird. Die Lage und Größe der Parabel sowie ihre Öffnung hängen von den Werten a, b und c ab. Wie in Abbildung 1 dargestellt, hat die Parabel einen Minimalpunkt, wenn a > 0 ist, und öffnet sich nach oben. Wenn a < 0 ist, hat die Parabel einen Maximalpunkt und öffnet sich nach unten. Der Extrempunkt der Parabel, ob Minimum oder Maximum, entspricht ihrem Scheitelpunkt. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei x = – b 2 a {\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}
, und die y-Koordinate des Scheitelpunktes kann durch Einsetzen dieses x-Wertes in die Funktion gefunden werden. Der y-Achsenabschnitt befindet sich im Punkt (0, c).
Die Lösungen der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 entsprechen den Wurzeln der Funktion f(x) = ax2 + bx + c, da sie die Werte von x sind, für die f(x) = 0 ist. Wie in Abbildung 2 gezeigt, sind die Wurzeln von f genau die x-Koordinaten der Punkte, an denen der Graph die x-Achse berührt, wenn a, b und c reelle Zahlen sind und der Bereich von f die Menge der reellen Zahlen ist. Wie in Abbildung 3 gezeigt, berührt der Graph die x-Achse an zwei Punkten, wenn die Diskriminante positiv ist; wenn sie Null ist, berührt der Graph die x-Achse an einem Punkt; und wenn sie negativ ist, berührt der Graph die x-Achse nicht.
Quadratische FaktorisierungBearbeiten
Der Term
x – r {\displaystyle x-r}
ist ein Faktor des Polynoms
a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}
wenn und nur wenn r eine Wurzel der quadratischen Gleichung
a x 2 + b x + c = 0 ist. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
Aus der quadratischen Formel folgt, dass
a x 2 + b x + c = a ( x – – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – b – b 2 – 4 a c 2 a ) . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).}
Im Spezialfall b2 = 4ac, in dem die Quadratische nur eine eindeutige Wurzel hat (d.h. die Diskriminante ist Null), kann das quadratische Polynom wie folgt zerlegt werden
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}
Grafische LösungBearbeiten
Die Lösungen der quadratischen Gleichung
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
können aus dem Graphen der quadratischen Funktion
y = a x 2 + b x + c , {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
welche eine Parabel ist, abgeleitet werden.
Wenn die Parabel die x-Achse in zwei Punkten schneidet, gibt es zwei reelle Wurzeln, die die x-Koordinaten dieser beiden Punkte sind (auch x-Achsenabschnitt genannt).
Wenn die Parabel die x-Achse tangiert, gibt es eine doppelte Wurzel, die die x-Koordinate des Berührungspunktes zwischen dem Graphen und der Parabel ist.
Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, gibt es zwei komplex konjugierte Wurzeln. Diese Wurzeln lassen sich zwar nicht im Graphen darstellen, wohl aber ihre Real- und Imaginärteile.
Sind h und k die x-Koordinate bzw. die y-Koordinate des Scheitelpunktes der Parabel (d.h. der Punkt mit maximaler bzw. minimaler y-Koordinate). Die quadratische Funktion kann umgeschrieben werden
y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}
Sei d der Abstand zwischen dem Punkt mit der y-Koordinate 2k auf der Achse der Parabel und einem Punkt auf der Parabel mit derselben y-Koordinate (siehe Abbildung; es gibt zwei solcher Punkte, die wegen der Symmetrie der Parabel denselben Abstand ergeben). Der Realteil der Wurzeln ist dann h und ihr Imaginärteil ist ±d. Das heißt, die Wurzeln sind
h + i d und x – i d , {\displaystyle h+id\quad {\text{und}}\quad x-id,}
oder im Fall des Beispiels der Abbildung
5 + 3 i und 5 – 3 i . {5+3i und 5-3i.
Signifikanzverlust vermeidenBearbeiten
Obwohl die quadratische Formel eine exakte Lösung liefert, ist das Ergebnis nicht exakt, wenn reelle Zahlen bei der Berechnung angenähert werden, wie es in der numerischen Analysis üblich ist, wo reelle Zahlen durch Fließkommazahlen (in vielen Programmiersprachen „reals“ genannt) angenähert werden. In diesem Zusammenhang ist die quadratische Formel nicht vollständig stabil.
Dies ist der Fall, wenn die Wurzeln eine unterschiedliche Größenordnung haben, oder, anders ausgedrückt, wenn b2 und b2 – 4ac betragsmäßig nahe beieinander liegen. In diesem Fall führt die Subtraktion zweier nahezu gleicher Zahlen zu einem Bedeutungsverlust oder einer katastrophalen Annullierung der kleineren Wurzel. Um dies zu vermeiden, kann die betragsmäßig kleinere Wurzel, r, als ( c / a ) / R {\displaystyle (c/a)/R} berechnet werden
, wobei R die Wurzel ist, die größer ist.
Eine zweite Form der Aufhebung kann zwischen den Termen b2 und 4ac der Diskriminante auftreten, nämlich dann, wenn die beiden Wurzeln sehr nahe beieinander liegen. Dies kann zum Verlust von bis zu der Hälfte der korrekten signifikanten Zahlen in den Wurzeln führen.